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104 21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE
Esercizio 21.2. Sia S la superficie data dal grafico della funzione z = xy/2 tale che x 2 + y 2 ≤ 12. Si calcoli
l’area di S e il flusso del campo F = (x, y, 1) attraverso S orientata in modo che la normale sia rivolta verso
l’alto.
Svolgimento. La superficie S è un grafico z = f(x, y) f : D → R, con f(x, y) = xy/2 e D := {(x, y) ∈
R 2 : x 2 + y 2 ≤ 12}. D è il cerchio centrato nell’origine di raggio √ 12 = 2 √ 3. Essendo un grafico, sappiamo già
che l’elemento di superficie è dσ = 1 + |∇f| 2 quindi
dσ =
1 + y2
4
+ x2
4
1
= 4 + y2 + x2 .
2
Verifichiamo il risultato. S è parametrizzata da ψ(x, y) = (ψ1, ψ2, ψ3) = (x, y, f(x, y)) = (x, y, xy/2). La
matrice Jacobiana della parametrizzazione è:
⎛
Jac ψ(r, z) = ⎝
1 0
0 1
y/2 x/2
Per la regola di Binet, per trovare l’elemento di superficie 2-dimensionale dobbiamo considerare tutti i minori
di ordine 2, e sommarne i quadrati dei determinanti estraendo la radice.
ω2(∂xψ, ∂yψ) =
A questo punto si ha:
det 2
Area(S) =
1 0
0 1
S
dσ =
+ det 2
1 0
y/2 x/2
D
1 + x2
4
+ y2
4
⎞
⎠
+ det 2
0 1
y/2 x/2
= 1 + x2
4
1
dxdy = 4 + y2 + x2 dxdy.
2 D
+ y2
4 .
Per calcolare questo integrale passiamo in coordinate polari piane x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ricordando che il
determinante Jacobiano di questa trasformazione è ρ:
Area(S) =
2π 12
= π
2
0 0
148
4
1
4 + ρ2 ρ dρ dθ = π
2
√ t dt = π
2
= 8
3 π (37√ 37 − 1).
t 3/2
3/2
t=148
t=4
12
0
4 + ρ 2 ρ dρ = π
2
144
= π
3 (√ 148 3 − 8) = π
3 (√ 4 3 37 3 − 8)
0
√ 4 + w dw
Calcoliamo la normale a S. Posto G(x, y, z) = z − f(x, y) = z − xy/2, la superficie risulta rappresentata
dall’equazione G(x, y, z) = 0, quindi la sua normale unitaria sarà data da
± ∇G (−y/2, −x/2, 1) (−y, −x, 2)
= ± = ± ,
|∇G| |(−y/2, −x/2, 1)| x2 + y2 + 4
e poiché l’esercizio richiede che la normale punti verso l’alto, sceglieremo
ˆn(x, y, z) = (n1, n2, n3) =
(−y, −x, 2)
x 2 + y 2 + 4 ,