pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

28. METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI - CONTINUAZIONE 147
La soluzione generale dell’equazione è X(x) = e αx (c1 cos ωx + c2 sin ωx), sostituendo le condizioni al contorno
si ha c1 = 0 e 0 = c2e απ sin ωπ. Ciò implica ω ∈ Z \ {0}. In particolare, poiché 4ω = |∆| si deve avere
ω = n ∈ N \ {0} e quindi 16n 2 = −∆ perché ∆ < 0, pertanto si ha 16n 2 = −9 + 8λn e λn = (2n 2 + 9/8).
Pertanto al variare di n ∈ N la soluzione relativa a λn è
Xn(x) = cne −3/4x sin nx.
Studiamo ora l’equazione per U(t), essa è − ˙ U = (λ − 1)U, la cui soluzione generale è U(t) = U(0)e −(λ−1)t .
Sostituendo i valori di λ accettabili, ovvero i valori λn si ottengono soluzioni Un(t) = Un(0)e −(2n2 +1/8)t . Poniamo
bn = Un(0)cn e costruiamo le soluzioni elementari
Per coprire il dato iniziale si deve avere
da cui
un(x, t) = bne −(2n2 +1/8)t e −3/4x sin nx.
f(x) =
∞
un(x, 0),
n=1
π
2 −
x − π
∞
= bn sin nx.
2
pertanto i coefficienti bn sono i coefficienti dello sviluppo in serie (di soli seni) della funzione
x ↦→ π
2 −
x − π
2
definita su [0, π] e prolungata per disparità a [−π, π] e poi per 2π-periodicità a tutto R. Pertanto i coefficienti
bn sono dati da:
bn = 2
π
π
π 2 −
x − π
sin nx dx
2
Quindi la soluzione risulta essere:
= 2
π
0
π/2
0
= 4
sin
πn2 u(x, t) = 4
π
∞
n=1
Essa converge uniformemente, infatti si ha:
∞
sin
sup
n π
2
n=1
(x,t)∈[0,π]×[0,+∞[
x sin nx dx +
n 2
n π
.
2
n=1
che prova la convergenza totale e quindi uniforme della serie.
π
π/2
(π − x) sin nx dx
sin n π
2
n2 e −(2n2 +1/8)t −3/4x
e sin(nx).
e −(2n2 +1/8)t e −3/4x sin(nx)
≤
∞ 1
< ∞,
n2 Esercizio 28.3. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione (sotto forma di serie)
dell’equazione alle derivate parziali
⎧⎪
−utt + 3uxx = 0 in ]0, π[×]0, +∞[
⎨
ux(0, t) = ux(π, t) = 0
⎪⎩
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = x.
Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.
Svolgimento. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni non nulle nella
forma u(x, t) = U(t)X(x). Dalle condizioni iniziali si ricava ˙ X(0) = ˙ X(π) = 0 Sostituendo, si ottiene al variare
di λ ∈ R:
− Ü(t)X(x) + 3U(t) ¨ X(x) = 0,
e dividendo per U(t)X(x) si ha:
−Ü(t) U(t) = −3 ¨ X(x)
= λ.
X(x)
n=1