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CAPITOLO 6
Lezione del giorno giovedì 15 ottobre 2009 (2 ore)
Successioni e convergenza uniforme
Definizione 6.1. Sia D ⊆ R N . Data una successione {fn}n∈N di funzioni fn : D → R M , e una funzione
f : D → R M . Diremo che:
(1) la successione {fn}n∈N converge puntualmente a f o che f è limite puntuale di {fn}n∈N se per ogni
x ∈ D si ha lim
n→∞ fn(x) = f(x), o equivalentemente lim
n→∞ fn(x) − f(x) = 0.
(2) {fn}n∈N converge uniformemente a f o che f è limite uniforme di {fn}n∈N se
lim
n→∞ fn − f∞ = 0 o equivalentemente lim
n→∞ sup fn(x) − f(x) = 0.
Osservazione 6.2. Ricordiamo i seguenti fatti:
x∈D
(1) La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, il viceversa non è vero.
(2) Il limite uniforme di funzioni continue definite su un intervallo chiuso e limitato di R a valori in R è
una funzione continua, mentre se il limite è solo puntuale questo in generale non è vero.
(3) La definizione di convergenza uniforme può essere scritta anche in questo modo: esiste una successione
{an}n∈N di numeri reali tale che an → 0 e |fn(x) − f(x)| ≤ an per ogni x ∈ D.
(4) L’insieme D gioca un ruolo fondamentale nella definizione di convergenza uniforme, nel senso che possono
esistere successioni di funzioni convergenti puntualmente ma non uniformemente in D e convergenti
puntualmente e uniformemente in un insieme D ′ ⊂ D.
(5) Se le funzioni fn, f sono sufficientemente regolari (almeno C 1 ), si può cercare di determinare il sup
che compare nella definizione di convergenza uniforme mediante lo studio delle derivate della funzione
|fn − f| (se essa è regolare).
e
Esercizio 6.3. Si consideri la successione di funzioni fn : R → R definita da fn(x) =
1
−xt
dt. Si provi
1 + t2 che le fn sono tutte continue e si studi la convergenza puntuale ed uniforme della successione.
Svolgimento. Proviamo che le funzioni fn sono continue. A tal proposito dobbiamo verificare che per
x, n fissati si ha lim
y→x |fn(y) − fn(x)| = 0. Scriviamo y = x + h. Si ha allora:
Distinguiamo due casi:
|fn(y) − fn(x)| = |fn(x + h) − fn(x)| =
1
n
=
dt
≤
=
1
n
1
e −xt (e −ht − 1)
1 + t 2
e −xt |e −ht − 1|
1 + t 2
dt =
n
e−(x+h)t dt −
1 + t2
n
1
n
e
1
−xt (e−ht − 1)
1 + t2 n
e
1
−xt |1 − e−ht |
1 + t2 dt.
e xt
1 + t
dt
(1) supponiamo h > 0. Si ha che |1 − e −ht | = 1 − e −ht perché t > 0 e h > 0 quindi e −ht ≤ 1. Si ha allora:
|fn(y) − fn(x)| ≤
n
1
e −xt (1 − e −ht )
1 + t 2
Consideriamo a questo punto la funzione s ↦→ 1 − e −s per s ≥ 0. Si ha che 1 − e −s ≤ s per s ≥ 0.
Infatti consideriamo w(s) = (1 − e −s ) − s. Si ha w(0) = 0 e w ′ (s) = e −s − 1 < 0 se s > 0, quindi la
funzione w è strettamente decrescente e pertanto w(s) < w(0) se s > 0. Ciò vuol dire 1 − e −s ≤ s per
19
dt
n
2 dt