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174 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
(1) Si calcolino divergenza e rotore di F .
(2) Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la circonferenza di raggio
√ 1 + a 2 , centrata nell’origine e appartenente al piano y = 1 parametrizzata da
γ(θ) = ( a 2 + 1 cos θ, 1, a 2 + 1 sin θ), θ ∈ [0, 2π].
Si dica se il campo F è conservativo.
(3) Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, si ricavi da essa l’elemento di superficie 2-dimensionale relativo
alla parametrizzazione ϕ. Si utilizzi il risultato per calcolare l’area di Sa nel caso a = 0.
(4) Per a > 0, si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto (a, 0, 0).
(5) Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie Sa orientata secondo l’orientamento indotto dalla
parametrizzazione.
Svolgimento. Poniamo ϕ(θ, y) = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e F = (F1, F2, F3).
(1) Si ha
div F (x, y, z) = ∂xF1 + ∂yF2 + ∂zF3 = 2x + 1/2,
rot ⎛
F = det ⎝ e1 ∂x x2 ⎞
e2 ∂y y/2 ⎠ = (0, −1, 0).
e3 ∂z x
(2) dal teorema di Stokes, la circuitazione è il flusso del rotore attraverso la superficie D = {(x, 1, z) :
x2 + z2 ≤ (1 + a2 )} con normale (0, −1, 0), infatti la normale (0, −1, 0) su D induce per la regola della
mano destra l’orientamento richiesto su γ. Il flusso è:
rot
F · ˆn dσ = dσ = Area(D) = π(1 + a 2 ).
D
D
Verifichiamo il risultato:
2π
F dγ = F ( a2 + 1 cos θ, 1, a2 + 1 sin θ) · (− a2 + 1 sin θ, 0, a2 + 1 cos θ) dθ
γ
=
0
2π
0
− (a 2 + 1) 3/2 cos 2 θ sin θ + (a 2 + 1) cos 2
θ dθ = π(1 + a 2 )
Quindi la circuitazione non è nulla, pertanto F non è conservativo.
(3) La matrice Jacobiana è
⎛
−
⎜
Jac ϕ(θ, y) = ⎜
⎝
y2 + a2 ⎞
y cos θ
sin θ √
y2 +a2 ⎟
0 1 ⎟
⎠
y2 + a2 y sin θ
cos θ
.
√ y 2 +a 2
Per la formula di Binet, l’elemento d’area è:
ω2 = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3
dove
B1 =
− y 2 + a 2 sin θ
⎛
√y cos θ
y2 +a2 0 1
B2 = ⎝ −y2 + a2 sin θ
y2 + a2 cos θ
B3 =
0 1
y2 + a2 cos θ
√y cos θ
y2 +a2 √y sin θ
y2 +a2 √y sin θ
y2 +a2
⎞
, det 2 B1 = (y 2 + a 2 ) sin 2 θ.
⎠ , det 2 B2 = y 2 ,
, det 2 B3 = (y 2 + a 2 ) cos 2 θ.
da cui ω2 = 2y2 + a2 . Nel caso a = 0 si ha che l’elemento d’area è ω2 = √ 2|y|. L’area di S0 è data
da
2π 1
1 √ √
1
dσ = ω2dθ dy = 2π 2|y| dy = 4π 2 y dy = 2π
0 −1
−1
√ 2.
Sa
0