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10 3. LIMITI DELLE FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI
Se x0 ∈ Rn , ℓ = ∞, si ha che per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che se x − x0 < δ e x ∈ D allora f(x) > M.
Scriveremo in tal caso
lim f(x) = ∞
intendendo
x→x0
x∈D
lim
x−x0→0 +
x∈D
f(x) = +∞.
Se x0 = ∞, ℓ = ∞, si ha che per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che se x > N e x ∈ D allora f(x) > M.
Scriveremo in tal caso
lim f(x) = ∞
intendendo
x→∞
x∈D
lim
x→+∞
x∈D
f(x) = +∞.
Poiché nella topologia usuale di R n si ha che punti distinti possiedono intorni disgiunti, se il limite esiste esso
è unico.
Osservazione 3.6. Il precedente riconduce il calcolo del limite per x → x0 di una funzione f : D → R m
al calcolo dei limiti delle sue m componenti, ovvero dei limiti delle funzioni fj : D → R. Pertanto è possibile
restringersi allo studio dei limiti delle funzioni f : R n → R, ossia al caso m = 1.
Osservazione 3.7. Sia f : R 2 → R, (x0, y0) ∈ R 2 . Calcolare
equivale, come si è visto, a calcolare
lim f(x, y),
(x,y)→(x0,y0)
lim
x→x0
y→y0
f(x, y).
Si potrebbe essere tentati di calcolare il limite nel modo seguente:
lim lim f(x, y)
x→x0 y→y0
ovvero prima calcolare il limite nella variabile y trattando x come una costante, ottenendo quindi una funzione
della sola x, e poi calcolare il limite in x. Simmetricamente si potrebbe anche calcolare
lim lim f(x, y)
y→y0 x→x0
ovvero prima calcolare il limite nella variabile x trattando y come una costante, ottenendo quindi una funzione
della sola y, e poi calcolare il limite in y. Sfortunatamente in generale si ha
lim
y→y0
lim f(x, y)
x→x0
= lim
x→x0
lim f(x, y)
y→y0
Esempio 3.8. Sia f(x, y) = x2 /(x2 + y2 ) definita in R2 \ {(0, 0)}.
x2 x2 + y2
= lim 0 = 0.
lim
y→0
y=0
lim
x→0
x=0
⎛
lim
x→x0
x=0
⎝ lim
y→y0
y=0
x 2
⎞
y→0
y=0
x2 + y2 ⎠ = lim 1 = 1.
Osservazione 3.9. Generalizzando le idee precedenti, supponiamo di avere f : D → R con D ⊆ R n . Si
potrebbe considerare una qualunque funzione continua γ : [a, b] → D con a, b ∈ R, a < b, tale che uno tra γ(a)
o γ(b) sia uguale a x0 Si osservi che f ◦ γ : [a, b] → R. A questo punto:
(1) se γ(b) = x0 cerchiamo di calcolare lim
x→x0
x∈D
(2) se γ(a) = x0 cerchiamo di calcolare lim
x→x0
x∈D
y→0
y=0
f(x) calcolando invece il limite lim f ◦ γ(t),
t→b− f(x) calcolando invece il limite lim f ◦ γ(t),
t→a +