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B. ESERCIZI SU FLUSSI, CIRCUITAZIONI, TEOREMA DI STOKES E AFFINI 187
(12) Il teorema della divergenza afferma che il flusso di F attraverso una superficie chiusa (qui chiusa non
va intesa in senso topologico, ma in quello intuitivo di superficie che separa R 3 in due componenti
connesse) orientata con normale uscente è pari all’integrale fatto sul volume Ω racchiuso da C della
divergenza di F . In altre parole
C
F · ˆn dσ =
Ω
div F (x, y, z) dx dy dz.
Si osservi che la normale che compare nel teorema della divergenza, è la normale uscente da Ω. Tale
orientamento potrebbe non concordare con quello assegnato dal problema. Sarà necessario verificare
quindi se i due orientamenti coincidono e, in caso negativo, mutare segno al risultato.
(13) Il teorema della divergenza può essere utile per calcolare flussi attraverso superfici parametrizzate S
nelle situazioni seguenti: supponiamo che div F = 0 e che il bordo di S sia una curva γ che giaccia su
un piano Π. Tale curva individua su Π una superficie Σ. Supponiamo che Σ ∩ S = γ, ovvero non vi
siano altri punti oltre al bordo dove Σ e S si intersechino. Allora S ∪ Σ = C è superficie chiusa che
racchiude un certo volume Ω. Per il teorema della divergenza si ha
S
F · ˆn dσ + F · ˆn dσ = F · ˆn dσ = div
Σ
C
Ω
F (x, y, z) dx dy dz = 0,
perché la divergenza è nulla. Inoltre la normale a Σ è la normale al piano Π, quindi è costante.
Si ottiene quindi che il flusso di F attraverso Σ è pari all’opposto del flusso di F attraverso Σ che,
in linea di principio, è più facile da calcolare: infatti la normale a Σ coincide con la normale a Π,
quindi è costante. Tuttavia si presti attenzione agli orientamenti, infatti per applicare il teorema della
divergenza è necessario che la normale sia uscente dal volume racchiuso, mentre il testo spesso richiede
che il flusso sia calcolato con la normale indotta dalla parametrizzazione. Se i due orientamenti non
coincidono, sarà necessario cambiare il segno al risultato.
Osservazione B.1. Nello sviluppo di tutti gli integrali considerati è di fondamentale importanza sfruttare
eventuali simmetrie degli intervalli della parametrizzazione, oppure proprietà di periodicità. Ricordiamo a tal
proposito i seguenti fatti:
(1) Se f : R → R è periodica di periodo T , ovvero f(x) = f(x + T ) per ogni x ∈ R, allora per ogni a ∈ R
si ha
T
0
f(x) dx =
T/2
−T/2
f(x) dx =
a+T
a
f(x) dx
(2) Se f : R → R è pari, ossia f(x) = f(−x), allora si ha
a
(3) Se g : R → R è dispari, ossia g(−x) = −g(x), allora si ha
Osservazione B.2. Dai precedenti si ricavano i seguenti fatti:
(1) Dati p, q ∈ N, q dispari, si ha
2π
0
cos p θ sin q θ dθ =
f(x) dx = 2
−a a
π
−π
−a
a
0
g(x) dx = 0
f(x) dx
cos p θ sin q θ dθ = 0 perché l’integranda è
2π-periodica, dispari e nell’ultimo integrale si ha che l’intervallo di integrazione è simmetrico rispetto
all’origine.
(2) per ogni p ∈ N si ha
2π
0
da cui 2π =
2π
0
cos 2 pθ dθ =
2π
0
sin 2 pθ dθ =
2π
0
2π
sin 2 (pθ + π/2) dθ =
(cos 2 pθ + sin 2 pθ) dθ = 2
(3) per ogni m, n ∈ N, m = n, si ha
2π
0
0
cos 2 pθ dθ = π, infatti sfruttando la periodicità si ha:
2π
0
5/2π
π/2
cos 2 pθ dθ.
cos mθ sin nθ dθ = 0.
sin 2 pσ dσ =
2π
0
sin 2 (pσ) dσ,