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CAPITOLO 20
Lezione del giorno giovedì 10 dicembre 2009
Prima prova in itinere
Esercizio 20.1. Si consideri l’insieme:
Γ = {(x, y) ∈ R 2 : (x 2 + y 2 − 2x) 2 = x 2 + y 2 },
detto Chiocciola di Pascal.
(1) Si esprima Γ in coordinate polari piane.
(2) Si provi che la curva interseca gli assi in cinque punti, di cui uno è l’origine. Si determinino gli altri
quattro punti Pi = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, e si scrivano le equazioni delle tangenti a Γ in essi.
(3) Per ogni i = 1, 2, 3, 4, si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y = ϕi(x) di classe C 1 in un
intorno di xi con ϕi(xi) = yi.
(4) Si determinino massimi e minimi della funzione h(x, y) = x 2 + y 2 vincolati a Γ. Si dica se Γ è
compatto.
(5) Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ.
Svolgimento. Poniamo:
f(x, y) = (x 2 + y 2 − 2x) 2 − (x 2 + y 2 )
È utile osservare come f(x, −y) = f(x, y) pertanto l’insieme è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.
(1) In coordinate polari si ha:
Quindi Γ = Γ1 ∪ Γ2 dove:
f(ρ cos θ, ρ sin θ) = (ρ 2 − 2ρ cos θ) 2 − ρ 2 = ρ 2 ((ρ − 2 cos θ) 2 − 1)
= ρ 2 (ρ − 2 cos θ − 1)(ρ − 2 cos θ + 1)
Γ1 = {(ρ cos θ, ρ sin θ) : ρ − 2 cos θ − 1 = 0, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π]}
Γ2 = {(ρ cos θ, ρ sin θ) : ρ − 2 cos θ + 1 = 0, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π]}
e questa scrittura 1 comprende anche l’origine (0, 0).
(2) Poiché f(0, 0) = 0 si ha (0, 0) ∈ Γ. Studiamo le intersezioni con l’asse delle y ponendo x = 0:
f(0, y) = y 4 − y 2 = 0 quindi le intersezioni sono O = (0, 0), P1 = (0, 1), P2 = (0, −1). Analogamente,
studiamo le intersezioni con l’asse delle x ponendo y = 0:
f(x, 0) = (x 2 − 2x) 2 − x 2 = (x 2 − 2x − x)(x 2 − 2x + x) = x 2 (x − 3)(x − 1),
quindi le intersezioni sono P3 = (1, 0), P4 = (3, 0) e O = (0, 0).
Calcoliamo il differenziale di f:
df(x, y) = ∂xf(x, y) dx + ∂yf(x, y) dy
= (4(x 2 + y 2 − 2x)(x − 1) − 2x) dx + (4(x 2 + y 2 − 2x)y − 2y) dy.
Si ha quindi df(P1) = −4 dx + 2 dy, pertanto esiste q1 ∈ R tale per cui la retta −4x + 2y = q1 sia
tangente a Γ in P1. Sostituendo si ha q1 = 2 e la retta tangente è y = 2x + 1. Poiché Γ è simmetrico
rispetto alle ascisse, e P2 è il simmetrico rispetto a tale asse di P1, si ha che la retta tangente a Γ in P2
è la simmetrica rispetto all’asse delle ascisse di quella tangente in P1, ovvero y = −2x − 1. Si ha poi
df(P3) = −2 dx, pertanto la tangente a Γ in questo punto è la retta verticale x = 1, e analogamente si
ha df(P4) = 18 dx, pertanto la tangente a Γ in questo punto è la retta verticale x = 3.
1 Era importante osservare come Γ in coordinate polari fosse espresso da due rami differenti ovvero da |ρ − 2 cos θ| = 1. In
generale non è lecito passare da (ρ − 2 cos θ) 2 = 1 a ρ − 2 cos θ = 1, perché in questo modo si sta escludendo uno dei due rami.
Ricordiamo che √ a 2 = |a| per ogni a ∈ R. Inoltre è necessario aggiungere la condizione ρ ≥ 0, come risulterà evidente nel calcolo
del massimo e minimo vincolato.
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