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21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE 107
Pertanto sarà necessario invertire il segno, si ha allora che il flusso richiesto vale:
Φ(S, ⎛
2π F1 ◦ ϕ −
1 ⎜
F ) = − det ⎜
⎝
0 −1
y2 y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1
F2 ◦ ϕ 0 1
F3 ◦ ϕ y2 ⎞
⎟
⎠ dy dθ
y sin θ
+ 1 cos θ √
y2 +1
⎛
2π (y
1 ⎜
= − det ⎜
⎝
0 −1
2 + 1) cos2 θ − y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎟
y/2 0 1 ⎟
⎠ dy dθ
y2 + 1 cos θ y2 y sin θ
+ 1 cos θ √
y2 +1
⎛
2π 1
= − (−y/2)det ⎝ −y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎠ dy dθ+
y2 + 1 cos θ
−
= −
0 −1
2π 1
0 −1
2π 1
0
= − 2
3 π.
−1
(−1)det
√y sin θ
y2 +1
(y 2 + 1) cos 2 θ − y 2 + 1 sin θ
y 2 + 1 cos θ y 2 + 1 cos θ
y 2 1
/2 dy dθ +
−1
Nell’ultimo passaggio è sfruttato il fatto che:
2π
0
cos θ sin θ dθ = 1
2
2π
0
cos 3 θ dθ =
=
=
2π
0
3π/2
−π/2
π/2
−π/2
1
−1
2π
0
sin(2θ) dθ = 1
4
cos 3 θ dθ =
dy dθ
(y 2 + 1) 3/2 cos 3 θ + (y 2
+ 1) sin θ cos θ dθ dy
4π
0
3π/2
−π/2
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ +
(1 − w 2 ) dw +
−1
1
sin w dw = 0.
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ
3/2π
π/2
(1 − w 2 ) dw = 0.
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ