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CAPITOLO 24
Lezione del giorno martedì 12 gennaio 2010 (1 ora)
Equazioni lineari a coefficienti costanti
Esercizio 24.1. Risolvere le seguenti equazioni lineari a coefficienti costanti:
(1) y ′ + y = sin x.
(2) y IV − 16y = 1 + cos 2x.
(3) y ′′′ − 6y ′′ + 11y ′ − 6y = x 2 ;
(4) y IV − y ′′ = x − 1.
Svolgimento.
(1) L’equazione omogenea è y ′ + y = 0, la cui soluzione generale è y0(x) = ce −x , c ∈ R. Il termine noto
è della forma sin x, pertanto per trovare una soluzione possiamo applicare il metodo dei coefficienti
indeterminati. Cerchiamo una soluzione particolare del tipo A sin x + B cos x. Si ha dall’equazione
A cos x − B sin x + A sin x + B cos x = sin x da cui A + B = 0 e A − B = 1, quindi A = −B = 1/2.
Pertanto la soluzione è y(x) = ce −x + (sin x − cos x)/2, c ∈ R.
(2) L’equazione omogenea è y IV − 16y = 0, il polinomio caratteristico λ 4 − 16 = 0 ammette le radici semplici
{±2, ±2i}, pertanto la soluzione dell’omogenea è y0(x) = c1e 2x + c2e −2x + c3 cos(2x) + c4 sin(2x)
con ci ∈ R, i = 1, 2, 3, 4. Il termine noto è della forma 1 + cos 2x, cerchiamo quindi una soluzione
particolare ¯y1(x) di y IV − 16y = 1 e una soluzione particolare ¯y2(x) di y IV − 16y = cos 2x. Per quanto
riguarda y IV − 16y = 1, possiamo applicare il metodo dei coefficienti indeterminati. Osservato che
0 non è radice del polinomio caratteristico, cerchiamo una soluzione che sia un polinomio di grado 0
ovvero una costante, si ottiene così ¯y1(x) = −1/16.
Per trovare una soluzione a y IV − 16y = cos 2x possiamo applicare il metodo dei coefficienti indeterminati.
Osserviamo che 2 è radice del polinomio caratteristico di molteplicità 1, quindi cerchiamo una
soluzione particolare nella forma ¯y(x) = x(A cos(2x) + B sin(2x)). Derivando si ha:
¯y ′ (x) = A cos(2x) + B sin(2x) + 2x(−A sin(2x) + B cos(2x))
¯y ′′ (x) = 2(−A sin(2x) + B cos(2x)) + 2(−A sin(2x) + B cos(2x)) + 4x(−A cos(2x) − B sin(2x))
= 4(−A sin(2x) + B cos(2x)) + 4x(−A cos(2x) − B sin(2x))
¯y ′′′ (x) = 8(−A cos(2x) − B sin(2x)) + 4(−A cos(2x) − B sin(2x)) + 4x(A sin(2x) − B cos(2x))
= 12(−A cos(2x) − B sin(2x)) + 8x(A sin(2x) − B cos(2x))
¯y IV (x) = 24(A sin(2x) − B cos(2x)) + 8(A sin(2x) − B cos(2x)) + 16x(A cos(2x) + B sin(2x))
= 32(A sin(2x) − B cos(2x)) + 16x(A cos(2x) + B sin(2x))
Sostituendo si ottiene:
32(A sin(2x) − B cos(2x)) + 16x(A cos(2x) + B sin(2x)) − 16x(A cos(2x) + B sin(2x)) = cos 2x
da cui A = 0, e quindi −32B cos(2x) = cos 2x e quindi B = −1/32. La soluzione dell’equazione risulta
quindi:
y(x) = c1e 2x + c2e −2x + c3 cos(2x) + c4 sin(2x) − 1 x
−
16 32 sin(2x),
al variare di ci ∈ R, i = 1, 2, 3, 4.
(3) L’equazione omogenea è y ′′′ − 6y ′′ + 11y ′ − 6y = 0 di polinomio caratteristico λ 3 − 6λ 2 + 11λ − 6 = 0.
Cerchiamo soluzioni intere di questa equazione tra i divisori interi di −6, ovvero ±1, ±2, ±3, ±6. Si
ha che le radici sono λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, radici semplici. Il termine noto è della forma x 2 ,
applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati. Dopo aver osservato che 0 non è soluzione del
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