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APPENDICE G
Sistemi 2 × 2 di equazioni ordinarie lineari del primo ordine
Definizione G.1. Sia F ∈ R[x] un polinomio di grado n, ovvero
sistèma = lat. systèma dal gr. s`ystêma composto della particella syn con,
insieme e -stêma attinente all’inusitato stênai pres. ìstêmi stare, collocare
(v. Stare).
Aggregato di parti, di cui ciascuna può esistere isolatamente, ma che
dipendono le une dalle altre secondo leggi e regole fisse, e tendono a un
medesimo fine; Aggregato di proposizioni su cui si fonda una dottrina; e
anche Dottrina le cui varie parti sono fra loro collegate e seguonsi in mutua
dipendenza; Complesso di parti similmente organizzate e sparse per tutto il
corpo, quali il sistema linfatico, nervoso, vascolare ecc.
F (x) = a0x n + ... + an, a0, ..., an ∈ R, a0 = 0.
Se y = y(t) è una funzione di classe C n , in questa sezione porremo
(F (D)y)(t) = a0
dny (t) + ... + an−1
dtn Vocabolario etimologico della lingua italiana,
di Ottorino Pianigiani, 1907.
dy
(t) + any(t).
dt
Talvolta la dipendenza da t verrà omessa e scriveremo semplicemente F (D)y.
Definizione G.2. Un sistema di equazioni ordinarie a coefficienti costanti è del tipo:
F1(D)x + G1(D)y = f(t),
F2(D)x + G2(D)y = g(t).
con F1, G1, F2, G2 polinomi a coefficienti reali e f, g funzioni continue. Il grado rispetto a D della matrice dei
coefficienti:
F1(D)
det
F2(D)
G1(D)
G2(D)
indica il numero delle costanti arbitrarie che appaiono nella soluzione generale del sistema. Il procedimento
fondamentale per la risoluzione di un sistema di questo genere consiste nell’ottenere un sistema equivalente nel
quale compare un’equazione in una sola variabile. Risolta tale equazione, si procede in modo analogo per le
altre variabili dipendenti. Si segue un metodo simile a quello per la risoluzione dei sistemi lineari (in x e y).
Ci limiteremo al caso 2×2 e al primo ordine, in questo caso trattasi di problemi dove si richiede la soluzione
di un sistema del tipo
˙x − ax − by = f(t)
˙y − cx − dy = g(t)
,
dove f, g : R → R sono funzioni di classe C 1 (R), e a, b, c, d ∈ R sono quattro costanti reali. Si chiede poi il tipo
e la stabilità delle soluzioni stazionarie dell’omogeneo associato.
Osservazione G.3. Osserviamo che sotto queste ipotesi il sistema obbedisce al teorema di esistenza e
unicità locale, pertanto le soluzioni massimali sono uniche e dipendono solo dalle condizioni iniziali x0 e y0. Da
ciò si ricava questa informazione: la soluzione del sistema dovrà dipendere da due costanti arbitrarie reali. Si
vedrà che tali costanti saranno legate a x0 e y0.
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