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106 21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE
Calcoliamo in coordinate cilindriche:
2Volume(C) := 2
= 2
= 2
= 2
= 2
2π √ 12 f(r cos θ,r sin θ)
0 0 0
2π √ 12 f(r cos θ,r sin θ)
0 0
2π √ 12
0 0
√ 12 2π
0 0
√ 12 2π
0
0
λ
r dθdr
r dz dθ dr
r(f(r cos θ, r sin θ) − λ) dθ dr
(r 3 cos θ sin θ − rλ) dθ dr
r 3 cos θ sin θ dθ dr − 2λπ
√ 12
0
r dr = −24λπ,
che è positivo perché λ < 0. L è parametrizzata da ψ1(θ, z) = ( √ 12 cos θ, √ 12 sin θ, z):
⎛
Jac ψ1(θ, z) = ⎝ −√12 sin θ
0
√
0
12 cos θ
⎞
⎠ .
0 1
Dalla regola di Binet si ha che l’elemento di area è quindi:
ω2 = det 2
√
− 12 sin θ 0
+ det
0 1
2
√
12 cos θ 0
0 1
= 12 sin 2 θ + 12 cos2 θ = √ 12.
Pertanto:
√ 12 Area(L) := √ 12
:= √ 12
:= √ 12
2π √ √
f( 12 cos θ, 12 sin θ)
0 λ
2π 6 cos θ sin θ
0
2π
0
λ
dz dθ
+ det 2
√
−
√
12 sin θ 0
12 cos θ 0
√ 12dz dθ
6 cos θ sin θ − λ dθ = 24πλ.
Quindi i contributi di volume e superficie laterale si elidono e il flusso è 12π, che verifica il calcolo precedente.
Esercizio 21.3. Si disegni la superficie S di equazioni parametriche
ϕ(θ, y) = ( y 2 + 1 cos θ, y, y 2 + 1 sin θ), θ ∈ [0; 2π], |y| < 1
e si calcoli il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = (x 2 , y/2, x) uscente da S, orientata in modo che nel punto
(1, 0, 0) il versore normale coincida con e1 = (1, 0, 0).
Svolgimento. Posto ϕ(θ, y) = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e F = (F1, F2, F3), si ha:
⎛
−
⎜
Jac ϕ(θ, y) = ⎜
⎝
y2 + 1 sin θ
0
y2 + 1 cos θ
√y cos θ
y2 +1
1
y sin θ
⎞
⎟
⎠ .
√ y 2 +1
Verifichiamo se la normale indotta dalla parametrizzazione è la stessa di quella richiesta ˆn = (n1, n2, n3), lo
verifichiamo nel punto (1, 0, 0):
⎛
n1 −
⎜
det ⎜
⎝
y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √ ⎛ ⎞
y2 +1 ⎟
1 0 0
n2
0 1 ⎟
⎠ = det ⎝ 0 0 1 ⎠ = −1 < 0.
y2 y sin θ
+ 1 cos θ
0 1 0
n3
√ y 2 +1
(θ,y)=(0,0)