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110 22. FORME DIFFERENZIALI
Teorema 22.12. Se ω è una 1-forma continua e localmente esatta in D, α, β sono circuiti omotopi in D,
allora
ω = ω
α β
Definizione 22.13. Uno spazio topologico si dice connesso per archi se ogni coppia di punti può essere
congiunta da una curva continua. Si dice semplicemente connesso se è connesso per archi e ogni circuito è
nullomotopo (cioè omotopo ad un circuito costante).
Proposizione 22.14. Se D è aperto semplicemente connesso di X e ω ∈ C 0 (D, X ∗ ) è localmente esatta,
allora è esatta. In particolare sugli aperti semplicemente connessi, le forme chiuse di classe C 1 sono esatte.
Definizione 22.15. Un sottinsieme D di X si dice stellato rispetto ad un punto x0 se per ogni x ∈ D, il
segmento {λx0 + (1 − λ)x : λ ∈ [0, 1]} è tutto contenuto in D.
Lemma 22.16 (Poincaré). Una 1-forma chiusa di classe C 1 su un aperto stellato D è esatta su D.
Proposizione 22.17. Sia D aperto semplicemente connesso di R2 , siano a1, ..., am ∈ D, sia ω 1-forma
localmente esatta in D\{a1, ..., am}. ω è esatta in D\{a1, ..., am} se e solo se detti γ1, ..., γm circoli positivamente
orientati centrati in aj e non contenenti altri ak al loro interno, si ha
ω = 0 per ogni j = 1, ..., m.
Definizione 22.18. Sia S ⊆ R n . Diremo che S è un cono se per ogni λ ≥ 0, x ∈ S vale λx ∈ S.
Definizione 22.19. Sia α ∈ R. Una funzione f = f(x1, ..., xn) definita su un cono S di R n si dice funzione
(positivamente) omogenea di grado α se per ogni (x1, ..., xn) ∈ S, λ > 0 si ha f(λx1, ..., λxn) = λ α f(x1, ..., xn).
Proposizione 22.20 (Eulero). Sia data in D la forma ω = M(x, y) dx + N(x, y) dy. Supponiamo ω chiusa
e M, N funzioni omogenee di un comune grado di omogeneità α = −1. Allora qualunque sia il dominio D, ω è
integrabile in D e il suo integrale indefinito è dato da:
f(x, y) = 1
[xM(x, y) + yN(x, y)]
α + 1
Esercizio 22.21. Si consideri la curva parametrizzata da
(t
γ(t) =
3 , 3t2 ) per t ∈ [0, 1/2]
((1 − t2 )/6, (1 − t2 )) per t ∈ [1/2, 1].
(a) Si abbozzi un disegno di γ e se ne calcoli la lunghezza;
(b) date le forme differenziali
si calcolino
ω1 = ydx + ydy, ω2 = ydx + xdy,
γ
ω1,
Svolgimento. La curva γ(t) è costituita dalla giustapposizione di γ1 : [0, 1/2] → R 2 , definita da γ1(t) =
(t 3 , 3t 2 ) e γ2 : [1/2, 1] → R 2 definita da γ2(t) = ((1 − t 2 )/6, (1 − t 2 )).
(1) Rappresentiamo γ1. Dalla parametrizzazione γ1(t) = (x(t), y(t)) si ricava che t = 3√ x, da cui y = 3x 2/3
per 0 ≤ x ≤ 1/8. Tale funzione è concava e strettamente crescente; si ha γ1(0) = (0, 0) e γ2(1/2) =
(1/8, 3/4).
Per quanto riguarda γ2(t), dalla parametrizzazione si ricava che 1 − t 2 = 6x, da cui y = 6x e si ha
γ2(1/2) = (1/8, 3/4), γ2(1) = (0, 0). La curva γ è un circuito percorso in senso orario. Calcoliamone
ω2
γ
la lunghezza. Le matrici Jacobiane della parametrizzazione sono:
2 3t
Jac(γ1) =
6t
,
−t/3
Jac(γ2) =
−2t
per la regola di Binet, per calcolare l’elemento di misura 1-dimensionale (ovvero di lunghezza), è
necessario sommare i quadrati dei determinanti dei minori di ordine 1 (ovvero i singoli elemeni) ed
estrarre la radice. Si ottiene:
ω1(t) =
√ 9t 4 + 36t 2 = 3t √ t 2 + 4 per 0 < t < 1/2,
t 2 /9 + 4t 2 = √ 37t/3 per 1/2 < t < 1,
γj
,