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APPENDICE C
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie
ordinàrio = lat. ordinàrius da òrdo - acc. òrdinem - ordine (v. q. voce).
Che sta nell’ordine delle cose, e quindi Che si fa regolarmente, Che avviene di
solito. Dal significato di Consueto, Comune, viene poi quello di Grossolano,
Di poco conto, Alquanto ignobile.
Nello stile chiesastico, dicesì così, in forma di sost. il Prelato che ha giurisdizione
ordinaria nella diocesi, in opposizione a Delegato, che ha giurisdizione
straordinariamente conferita.
[Ordinario si applica a ciò che avviene secondo l’ordine anche giornaliero della
natura o delle umane istituzioni, e quindi differisce da Solito, cha attiene
all’abitudine dell’individuo, da Consueto che riguarda le consuetudini o l’uso
di più persone, da Comune che dicesi ciò che conviene o appartiene a tutti.
Differisce inoltre da Volgare o Triviale perché Ordinario aggrada alla maggior
parte della gente, il secondo alla bassa gente, il terzo alla gente bassa
ineducata.]
Vocabolario etimologico della lingua italiana,
di Ottorino Pianigiani, 1907.
In questa sezione richiamiamo senza dimostrazione alcuni risultati relativi al problema di Cauchy:
˙x(t) = f(t, x(t)),
(1)
x(t0) = x0.
Enunciamo i risultati in un K-spazio di Banach Y , dove K = R oppure C. Il lettore può sempre pensare a
Y = R n .
Definizione C.1. Sia I intervallo non degenere di R, I intorno di t0. Diremo che ϕ : I → Y è soluzione di
(1) se ϕ è di classe C1 nell’interno di I e ϕ(t0) = x0. In tal caso diremo che I è l’intervallo di definizione della
soluzione ϕ. Sia I intervallo di definizione della soluzione ϕ. Diremo che I è massimale se non esistono soluzioni
ψ di (1) con intervallo di definizione J ⊂ R tali che J ⊃ Ī (dove Ī indica la chiusura di I) e ψ = ϕ su I.
Diremo che il problema (1) è autonomo se f non dipende da t, ossia f = f(x).
Teorema C.2 (di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz).
(1) Esistenza e Unicità Globale negli intervalli compatti
Sia Y un K-spazio di Banach, I intervallo compatto di R, f : I × Y → Y continua e lipschitziana
rispetto alla seconda variabile y ∈ Y , uniformemente nella prima t ∈ I (ciò significa che esiste L > 0
tale che sia:
f(t, y1) − f(t, y2)Y ≤ Ly1 − y2Y
per ogni t ∈ I e per ogni y1, y2 ∈ Y ). Dati t0 ∈ I, y0 ∈ Y esiste allora un’unica soluzione ϕ ∈ C 1 (I, Y )
tale che sia ϕ ′ (t) = f(t, ϕ(t)) identicamente in I e ϕ(t0) = y0.
(2) Esistenza e Unicità Globale negli intervalli non compatti
Sia Y un K-spazio di Banach, I intervallo di R, f : I × Y → Y continua; supponiamo che in ogni
compatto K ⊆ I, f sia lipschitziana rispetto alla seconda variabile y ∈ Y , uniformemente nella prima
t ∈ I (ciò significa che esiste LK > 0 tale che sia:
f(t, y1) − f(t, y2)Y ≤ LKy1 − y2Y
per ogni t ∈ K, K ⊆ I compatto e per ogni y1, y2 ∈ Y ). Dati t0 ∈ I, y0 ∈ Y esiste allora un’unica
soluzione ϕ ∈ C 1 (I, Y ) tale che sia ϕ ′ (t) = f(t, ϕ(t)) identicamente in I e ϕ(t0) = y0.
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