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98 20. PRIMA PROVA IN ITINERE
2
1
1
2
1 2 3
Figura 1. La Chiocciola di Pascal e alcune rette significative
(c) la retta x = 15−√33 16 che interseca Γ in quattro punti, i due punti più vicini all’asse delle ascisse
sono
estremali per le funzioni implicitamente definite da γ passanti per essi, tali punti sono
15− √ 33
16 , ± 1
√
3
8 2 69 − 11 33
;
(d) la retta x = 15+√33 16 che interseca
Γ in due punti, esso sono i punti di ordinata massima e minima
15+ appartenenti a Γ, e sono
√ 33
16 , ± 1
√
3
8 2 69 + 11 33
.
(e) la retta x = 3, tangente a Γ nell’unico punto (3, 0). Non vi sono punti di Γ con ascissa strettamente
maggiore di 3.
La Chiocciola di Pascal è quindi inscritta nel rettangolo
R = [−1/8, 3] × − 1
3
69 + 11
8 2
√
33 , 1
3
69 + 11
8 2
√
33
.
Osservazione 20.2. Nella seconda versione del compito, l’insieme era dato da
Γ = {(x, y) ∈ R 2 : (x 2 + y 2 + 2x) 2 = x 2 + y 2 }.
Pertanto tale insieme è il simmetrico rispetto all’asse delle ascisse di quello studiato nell’esercizio precedente,
quindi tutti i risultati dell’esercizio precedente valgono in questo caso qualora si mandi x in −x, y rimanga
invariato, e in coordinate polari si mandi θ in π − θ (quindi cos(π − θ) = − cos θ e sin(π − θ) = sin θ).
Esercizio 20.3. Dato α ∈ R e indicata con D la regione illimitata del primo quadrante compresa tra
l’iperbole di equazione xy = 1, la retta y = x e l’asse delle x, si calcoli
D
1
dx dy.
xα