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CAPITOLO 31
Lezione del giorno martedì 26 gennaio 2010 (1 ora)
Esercizi ricapitolativi - conclusione
Esercizio 31.1. Al variare di a ∈ R, studiare le soluzioni del problema di Cauchy
x ′ (t) = t − x 2 (t),
x(0) = a,
tracciandone un grafico approssimativo. In particolare: dire se esistono valori di a tali che la soluzione sia definita
su tutto l’intervallo (−∞, 0]; dire se esistono valori di a tali che la soluzione sia definita su tutto l’intervallo
[0, +∞).
Svolgimento. Vale il teorema di esistenza e unicità. Studiamo i punti dove ˙x = 0. Poniamo:
R := {(t, x(t)) : ˙x(t) > 0} = {(t, x) : t < x 2 },
tale regione è la regione di crescenza delle soluzioni. Se consideriamo il sistema autonomo:
˙t = 1
˙x = t − x 2
si ha che la regione R è invariante in avanti. Infatti (˙t, ˙x) (t,x)∈R = (1, 0) che punta all’interno di R. Pertanto
una soluzione che vi entri, ivi rimane intrappolata.
Passando al limite nell’espressione di ˙x, si deduce che non possono esservi asintoti orizzontali per x → +∞.
Calcoliamo la derivata seconda: x ′′ = 1 − 2xx ′ = 1 − 2x(t − x 2 ) e si ha
γ := {(t, x) : x ′′ = 0} = {(t, x) : 1 − 2xt + 2x 3 } = {(t, x) : t = 1/(2x) + x 2 }.
La curva γ, vista come t = t(x) = 1/(2x) + x 2 , è asintotica a t = x 2 per x → +∞, per x → 0 ± il limite è ±∞ e
inoltre il ramo di tale curva per x > 0 è contenuto in R. La curva interseca l’asse x in − 3 1/2 e come funzione
di x essa è strettamente decrescente per x < 0. Si ha che R 2 \ γ è costituito da tre componenti connesse: di
queste, quella contenente l’origine è una regione di convessità per le soluzioni, le altre due di concavità.
Poniamo quindi:
Q0 := {(t, x) : x ′′ < 0, x > 0, t > 0} = {(t, x) : 1 − 2xt + 2x 3 < 0 x > 0, t > 0}
Q1 := {(t, x) : x ′′ > 0} = {(t, x) : 1 − 2xt + 2x 3 > 0}
Q2 := {(t, x) : x ′′ < 0, x < 0} = {(t, x) : 1 − 2xt + 2x 3 < 0, x < 0}.
E’ utile che a questo punto il lettore si faccia un disegno della situazione.
Cerchiamo di capire se qualcuna di queste regioni è invariante. A tal proposito abbiamo bisogno delle normali
interne. Poiché la frontiera di tali regioni è γ che è definita implicitamente da implicitamente da F (t, x) = 0
con F (t, x) = 1 − 2xt + 2x 3 , la normale in un punto (t, x) ∈ γ è data da ˆn(t, x) = ±∇F (t, x) = ∓(2x, 2t − 6x 2 ),
dove il segno viene scelto in base al fatto che si desideri la normale entrante o uscente da Q0, Q1, Q2.
Consideriamo la regione Q0. La normale entrante in Q0 deve avere prima componente positiva. Nei punti di
∂Q0, si ha x > 0, pertanto il segno corretto della normale entrante in Q0 è ˆn0(t, x) = (2x, 2t − 6x 2 ).
Consideriamo la regione Q2. La normale entrante in Q2 deve avere prima componente negativa. Nei punti di
∂Q2, si ha x < 0, pertanto il segno corretto della normale entrante in Q2 è ˆn2(t, x) = (2x, 2t − 6x 2 ) = ˆn0(t, x).
La regione Q1 avrà normale entrante data da ˆn1(t, x) = −n0(t, x) = −(2x, 2t − 6x 2 ).
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