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D. EQUAZIONI DIFFERENZIALI TOTALI 195
Termini Fattore Int. Diff. Esatto
x dy − y dx
1
x2
y
d
x
x dy − y dx
1
y2
d − x
y
x dy − y dx
1
xy
d ln y
x
x dy − y dx
1
x2 + y2
d arctan y
x
x dy + y dx
1
(xy) n
⎧
⎪⎨
d(ln(xy))
⎪⎩
1
d −
(n − 1)(xy)
se n = 1
n−1
se n = 1
x dy + y dx
1
(x2 + y2 ) n
⎧
1
⎪⎨
d
2
⎪⎩
ln(x2 + y 2
)
1
d −
2(n − 1)(x
se n = 1
2 + y2 ) n−1
se n = 1
Osservazione D.4. Grazie al Teorema della Funzione Implicita, se λω = 0 è esatta e per se in P (x0, y0) ∈ D
vale N(x0, y0) = 0, l’equazione data si può scrivere:
dy y)
= −M(x,
dx N(x, y)
in un intorno di P . Tale affermazione è resa rigorosa dalla seguente osservazione: λω ammette F come primitiva,
perché F è esatta. Inoltre vale ∂yF (x0, y0) = λ(x0, y0)N(x0, y0) = 0, pertanto F definisce implicitamente in un
intorno di P (x0, y0) una funzione y = y(x) con y0 = y(x0). Poiché M, N ∈ C1 , e λ = 0 si ha che N(x, y) = 0
in un intorno di P (x0, y0), pertanto il teorema di Dini può essere applicato in un intorno. Si ha quindi che
y = y(x) è di classe C1 e vale
dy y)
= −M(x,
dx N(x, y) .
Analogamente se vale M(x0, y0) = 0, l’equazione data si può scrivere:
dx
dy
= − N(x, y)
M(x, y)
in un intorno di P .
Viceversa, l’equazione y ′ = f(x, y) può essere sempre scritta nella forma:
f(x, y) dx − dy = 0.
In altre parole, le curve di livello di F , ovvero gli insiemi:
Fc := {(x, y) ∈ A : F (x, y) = c}
rappresentano in forma implicita le soluzioni delle equazioni ordinarie
N(x, y(x)) dy
dx
+ M(x, y(x)) = 0, M(x(y), y) + N(x(y), y) = 0.
dx dy
Osservazione D.5. Se ω = 0 è esatta, sia γ una qualunque curva C1 a tratti congiungente P (x0, y0) ad
un generico punto (x, y) ∈ D, allora la primitiva di ω che valga 0 in P è data da:
F (x, y) = ω
γ