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68 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINUAZIONE
Svolgimento. Sia C il cerchio di raggio r nel piano zy centrato in (0, a, 0). Si ha:
C := {(0, s cos φ + a, s sin φ) : 0 ≤ s ≤ r, φ ∈ [0, 2π]}
Sia θ ∈ [0, 2π]. Il punto (x, y, z) ruotato attorno all’asse z di un angolo θ occupa la posizione
( x 2 + y 2 cos θ, x 2 + y 2 sin θ, z). Per cui si ha:
T := {(|s cos φ + a| cos θ, |s cos φ + a| sin θ, s sin φ) : ρ, φ ∈ [0, 2π], 0 ≤ s ≤ r}
Ricordando che a > r, si ha s cos φ + a > −s + a > −r + a > 0 e analogamente per il seno, quindi si possono
togliere i moduli:
pertanto T è parametrizzato da:
T := {((s cos φ + a) cos θ, (s cos φ + a) sin θ, s sin φ) : ρ, φ ∈ [0, 2π], 0 ≤ s ≤ r},
ϕ(s, θ, ϕ) = ((s cos φ + a) cos θ, (s cos φ + a) sin θ, s sin φ).
Il volume di T è espresso dall’integrale triplo
V =
T
dx dy dz.
La matrice Jacobiana della parametrizzazione è:
⎛
cos φ cos θ
Jac(ϕ)(s, θ, ϕ) = ⎝ cos φ sin θ
−(s cos φ + a) sin θ
(s cos φ + a) cos θ
−s sin φ cos θ
−s sin φ sin θ
⎞
⎠ .
sin φ 0 s cos φ
Il suo determinante è:
Quindi il volume cercato è:
det Jac(ϕ)(s, θ, ϕ) = sin φ(s(s cos φ + a) sin 2 θ sin φ + s sin φ cos 2 θ(s cos φ + a))+
V =
+ s cos φ(cos φ cos 2 θ(s cos φ + a) + (s cos φ + a) sin 2 θ cos φ)
= s sin 2 φ(s cos φ + a) + s cos 2 φ(s cos φ + a)
= s(s cos φ + a) > 0
2π 2π r
0
= 2πa
0 0
r 2π
0
0
s(s cos φ + a) dr dφ dθ
(s 2 cos φ + as) dφ ds = 4π 2 a
r
0
s dr = 2π 2 ar 2 .
Applicando il Teorema di Guldino: l’area del cerchio C è πr 2 , il baricentro è il centro geometrico del cerchio
che descrive una circonferenza di lunghezza 2πa. Quindi il volume è V = 2π 2 ar 2 , che conferma il risultato
precedente.
Esercizio 16.2. Calcolare il seguente integrale doppio :
I = cos(x + y)e x−y dxdy
esteso a
D
D = {(x, y) ∈ R 2 : |x + y| ≤ π
, |x − y| ≤ 1}.
2
Svolgimento. Poniamo u = x + y, v = x − y da cui x = (u + v)/2 e y = (u − v)/2. Il determinante
Jacobiano di questa trasformazione è −1/2, quindi il suo modulo è 1/2. Con questa parametrizzazione si ha:
I = 1
2
1 π/2
−1
−π/2
cos u e v du dv = e − e −1 = 2 sinh(1).
Esercizio 16.3. Calcolare il seguente integrale doppio:
1 + y
I =
x dx dy
1 − y
essendo D il dominio limitato dalla curva di equazione
D
y 4 + x 2 − 2x = 0