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116 22. FORME DIFFERENZIALI
Quindi V (x, y) = (x 2 + 1)y e la soluzione è data da (x 2 + 1)y = c, c ∈ R.
Osserviamo che 1 + x 2 = 0, per cui si può scrivere:
L’equazione può essere scritta nella forma:
si ha quindi, integrando,
y ′
y
y ′ (x) = dy 2xy
(x) = −
dx x2 + 1
2x
= −
x2 d
= −
+ 1 dx log(x2 + 1)
dy
y
d
= −
dx log(x2 + 1)
e quindi log |y| = − log(x 2 + 1) + d, al variare di d ∈ R da cui |y| = ed
x 2 +1
, quindi y = c
x 2 +1
al variare
di c ∈ R (si ponga c = ±e d ), che conferma il risultato precedente.
(2) la forma è evidentemente chiusa su R 2 . Determiniamo un potenziale integrando tale forma su una
spezzata γ che congiunga (0, 0) ad un generico punto (x0, y0) con segmenti paralleli agli assi, γ = γ1∪γ2
dove γ1(x) = (x, 0) per 0 ≤ x ≤ x0 (oppure x0 ≤ x ≤ 0) e γ2(y) = (x0, y) per 0 < y < y0 (oppure
y0 ≤ y ≤ 0).
V (x0, y0) =
=
γ
x0
0
ω =
γ1
((x 2 + y 2
− 2x) dx + 2xy dy) +
(x 2 − 2x) dx +
y0
0
γ2
2x0y dy = x3 0
3 − x2 0 + x0y 2 0.
((x 2 + y 2 − 2x) dx + 2xy dy)
Quindi V (x, y) = x3
3 − x2 + xy 2 e la soluzione è data da x(x 2 /3 − x + y 2 ) = c, c ∈ R.
In R 2 \ {xy = 0} possiamo dividere per 2xy ottenendo
y ′ (x) = dy
dx = −x2 + y2 − 2x
,
2xy
ma la risoluzione di tale equazione non appare immediata.
(3) posto p(x, y) = y 2 e q(x, y) = xy − 1, si ha ∂yp − ∂xq = 2y − y = y = 0, quindi la forma ω non è chiusa.
Tuttavia si può scrivere
∂yp − ∂xq = y = f(x)q(x, y) − g(y)p(x, y)
infatti il membro di sinistra è y, e a destra si può scegliere f ≡ 0 e g(y) = −1/y. Allora, scelto ad
esempio (x0, y0) = (0, 1) si ha:
x y y
h(x, y) = exp f(t)dt + g(t)dt = exp −
1
1
t dt
= e log(1/y) = 1/y
x0
è fattore integrante, definito su R2 \ {y = 0}. Scriviamo quindi
h(x, y)ω(x, y) = y dx + x − 1
dy.
y
y0
Tale forma è chiusa su ciascuno dei due semipiani H + = {(x, y) : y > 0} e H − = {(x, y) : y < 0}. Tali
semipiani sono semplicemente connessi e quindi la forma è ivi esatta. Determiniamo quindi i potenziali
V + e V − definiti su H + e H − rispettivamente. A tal proposito, consideriamo un punto di H + , ad
esempio (0, 1) e congiungiamolo al generico punto (x0, y0) di H + con una spezzata costituita da due
segmenti paralleli agli assi γ = γ1 ∪ γ2 dove γ1(x) = (x, 0) per 0 ≤ x ≤ x0 (oppure x0 ≤ x ≤ 0) e
γ2(y) = (x0, y) per 1 < y < y0 (oppure 0 < y0 ≤ y ≤ 1).
V +
(x0, y0) = h(x, y)ω(x, y) + h(x, y)ω(x, y) =
γ1
γ2
x0
0
y0
dx + x0 −
1
1
dy
y
= x0 + [x0y − log |y|] y=y0
y=1 = x0 + x0y0 − log y0 − x0 = x0y0 − log y0
Pertanto V + (x, y) = xy − log y, definito per y > 0 e le soluzioni in H + sono date da V + (x, y) = c,
c ∈ R.
Determiniamo ora V − . Consideriamo un punto di H − , ad esempio (0, −1) e congiungiamolo al generico
punto (x0, y0) di H + con una spezzata costituita da due segmenti paralleli agli assi γ = γ1 ∪ γ2 dove