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76 17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROVA IN ITINERE
2
1
2 1 1 2
1
2
Figura 1. La curva (x 2 + y 2 )(y 2 + x(x + 1)) = 4xy 2 , la circonferenza ad essa circoscritta e
alcune rette significative.
Svolgimento. Indichiamo con f, la funzione integranda. In coordinate polari, si ha
La funzione integranda è
˜D R r = {(ρ, θ) : r ≤ ρ ≤ R, θ ∈ [0, π/2]}.
f(ρ cos θ, ρ sin θ) = sin θe ρ /ρ,
per cui, essendo il determinante Jacobiano della trasformazione pari a ρ, si ha:
√
x2 +y2 ye
x2 π/2 R
dxdy = sin θe
+ y2 ρ π/2
dρ dθ = sin θ dθ ·
D R r
Per cui il limite richiesto vale e R − 1.
0
Esercizio 17.3. Si consideri la serie di funzioni continue nell’intervallo [0, 1]:
∞
nxe −nx2
− (n + 1)xe −(n+1)x2
.
n=1
r
0
R
r
e ρ dρ = e R − e r
(1) Si provi che la serie converge puntualmente in [0, 1] e si scriva la funzione f somma della serie.
(2) Si studi la convergenza uniforme e totale in [0, 1].
Svolgimento. Posto fn = nxe−nx2, si ha che la somma parziale N-esima della serie
N
N
N
sN = fn(x) − fn+1(x) = fn(x) − fn+1(x) = f1(x) − fN+1(x)
n=1
n=1
n=1