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32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI 177
e si ha che tale valore coincide con il flusso richiesto.
Verifichiamo il risultato ottenuto:
⎛
α 2π
det ⎝
0 0
F1 ◦ ϕ cos θ ρ sin θ
F2 ◦ ϕ sin θ ρ cos θ
F3 ◦ ϕ 2ρ − 4ρ3 ⎞
⎠ dθ dρ =
0
⎛
α 2π
e
= det ⎝
0 0
4ρ sin θ cos θ
ρ cos θ − ρ
ρ sin θ
2 cos2 θ sin θ ρ cos θ
ρ2 (1 − ρ2 ) + 1 2ρ − 4ρ3 ⎞
⎠ dθ dρ
0
=
α 2π
−
0 0
α 2π
0
0
2 α
= 2π
2
2 α
= 2π
2
(ρ 2 (1 − ρ 2 ) + 1)ρ dρdθ+
(e 4ρ sin θ ρ cos θ − ρ cos θ − ρ 2 cos 2 θρ sin θ) dθ dρ
+ α4
4
+ α4
4
α6
− −
6
− α6
6
,
α 2π
0
0
1 d
4 dθ (e4ρ sin θ ) dθdρ +
α 2π
0
0
ρ 3
3
d
dθ (cos3 θ) dθdρ
che verifica il calcolo svolto in precedenza.
(5) F non è conservativo. A tal proposito, se D è una superficie contenuta in z = 0, la sua normale nei
punti non di bordo sarà (0, 0, ±1), e quindi il flusso del rotore sarà
rot
F · ˆn dσ = (1 − 2x − 4e 4y ) dxdy,
e quindi per il teorema di Stokes,
F dγ1 =
D
˜γ
D
D
(1 − 2x − 4e 4y ) dxdy,
affinchè ˜γ sia un circuito di quelli richiesti è necessario determinare D in modo tale che l’integrale
del membro di destra sia non nullo. Consideriamo la superficie D := {(x, y, 0) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} con
normale ˆn = (0, 0, 1). Il flusso del rotore attraverso questa superficie è
rot
F · ˆn dσ = (1 − 2x − 4e 4y ) dxdy
D
D
= Area(D) −
1
= 4 − 2
−1
4y e
= 4 − 8
4
1 1
−1
2x dx − 2
y=1
y=−1
(2x + 4e 4y ) dxdy
−1
1
−1
4e 4y dy
= 4 − 2(e − e −1 ) = 0
Per il teorema di Stokes, la circuitazione sul bordo di D, che è il quadrato con lati paralleli agli assi
x e y giacente nel piano z = 0, con centro nell’origine e lato 2, percorso in senso antiorario, è pari a
4 − 2(e − e −1 ), quindi non nulla.
Esercizio 32.17 (Integrazione di 1-forme).
(1) Riconoscere che la forma differenziale:
ω(x, y) = (3x 2 y − y 2 ) dx + (x 3 − 2xy + 1) dy
è un differenziale esatto e calcolare il suo integrale indefinito.
(2) Riconoscere che la forma differenziale:
ω(x, y) = [sin(x + y) + x cos(x + y)] dx + x cos(x + y) dy
è un differenziale esatto e calcolare il suo integrale indefinito.