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188 B. ESERCIZI SU FLUSSI, CIRCUITAZIONI, TEOREMA DI STOKES E AFFINI (4) per calcolare potenze superiori di seno e coseno, si sfruttino le formule di Eulero 2 oppure la sostituzione z = tan(θ/2) che muta l’integranda in una funzione razionale fratta 3 2Ad esempio: 2π cos 0 4 2π eiθ + e−iθ 4 θ dθ = dθ = 0 2 1 24 2π (e 0 2iθ + e −2iθ + 2) 2 dθ = 1 24 2π (e 0 4iθ + e −4iθ + 4 + 2 + 4e 2iθ + 4e −2iθ ) dθ = 1 2π (cos(4θ) + 3 + 4 cos(2θ)) dθ = 8 0 3π 4 . 3 Tale sostituzione implica: sin θ = 2z 1 − z2 2 dz , cos θ = , dθ = . 1 + z2 1 + z2 1 + z2
APPENDICE C Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie ordinàrio = lat. ordinàrius da òrdo - acc. òrdinem - ordine (v. q. voce). Che sta nell’ordine delle cose, e quindi Che si fa regolarmente, Che avviene di solito. Dal significato di Consueto, Comune, viene poi quello di Grossolano, Di poco conto, Alquanto ignobile. Nello stile chiesastico, dicesì così, in forma di sost. il Prelato che ha giurisdizione ordinaria nella diocesi, in opposizione a Delegato, che ha giurisdizione straordinariamente conferita. [Ordinario si applica a ciò che avviene secondo l’ordine anche giornaliero della natura o delle umane istituzioni, e quindi differisce da Solito, cha attiene all’abitudine dell’individuo, da Consueto che riguarda le consuetudini o l’uso di più persone, da Comune che dicesi ciò che conviene o appartiene a tutti. Differisce inoltre da Volgare o Triviale perché Ordinario aggrada alla maggior parte della gente, il secondo alla bassa gente, il terzo alla gente bassa ineducata.] Vocabolario etimologico della lingua italiana, di Ottorino Pianigiani, 1907. In questa sezione richiamiamo senza dimostrazione alcuni risultati relativi al problema di Cauchy: ˙x(t) = f(t, x(t)), (1) x(t0) = x0. Enunciamo i risultati in un K-spazio di Banach Y , dove K = R oppure C. Il lettore può sempre pensare a Y = R n . Definizione C.1. Sia I intervallo non degenere di R, I intorno di t0. Diremo che ϕ : I → Y è soluzione di (1) se ϕ è di classe C1 nell’interno di I e ϕ(t0) = x0. In tal caso diremo che I è l’intervallo di definizione della soluzione ϕ. Sia I intervallo di definizione della soluzione ϕ. Diremo che I è massimale se non esistono soluzioni ψ di (1) con intervallo di definizione J ⊂ R tali che J ⊃ Ī (dove Ī indica la chiusura di I) e ψ = ϕ su I. Diremo che il problema (1) è autonomo se f non dipende da t, ossia f = f(x). Teorema C.2 (di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz). (1) Esistenza e Unicità Globale negli intervalli compatti Sia Y un K-spazio di Banach, I intervallo compatto di R, f : I × Y → Y continua e lipschitziana rispetto alla seconda variabile y ∈ Y , uniformemente nella prima t ∈ I (ciò significa che esiste L > 0 tale che sia: f(t, y1) − f(t, y2)Y ≤ Ly1 − y2Y per ogni t ∈ I e per ogni y1, y2 ∈ Y ). Dati t0 ∈ I, y0 ∈ Y esiste allora un’unica soluzione ϕ ∈ C 1 (I, Y ) tale che sia ϕ ′ (t) = f(t, ϕ(t)) identicamente in I e ϕ(t0) = y0. (2) Esistenza e Unicità Globale negli intervalli non compatti Sia Y un K-spazio di Banach, I intervallo di R, f : I × Y → Y continua; supponiamo che in ogni compatto K ⊆ I, f sia lipschitziana rispetto alla seconda variabile y ∈ Y , uniformemente nella prima t ∈ I (ciò significa che esiste LK > 0 tale che sia: f(t, y1) − f(t, y2)Y ≤ LKy1 − y2Y per ogni t ∈ K, K ⊆ I compatto e per ogni y1, y2 ∈ Y ). Dati t0 ∈ I, y0 ∈ Y esiste allora un’unica soluzione ϕ ∈ C 1 (I, Y ) tale che sia ϕ ′ (t) = f(t, ϕ(t)) identicamente in I e ϕ(t0) = y0. 189
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Università di Verona Facoltà di S
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iv INDICE Capitolo 18. Lezione del
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CAPITOLO 1 Lezione del giorno giove
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2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R
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10 3. LIMITI DELLE FUNZIONI IN PIÙ
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Tale limite dipende da m > 0, perta
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CAPITOLO 5 Lezione del giorno marte
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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFOR
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26 7. SERIE DI FUNZIONI pertanto la
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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PI
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CAPITOLO 9 Lezione del giorno marte
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9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI
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42 10. MASSIMI E MINIMI PER FUNZION
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48 12. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI P
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CAPITOLO 13 Lezione del giorno mart
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13. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICIT
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56 14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLI
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B a C. Si ha allora: I = = 1 4−
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68 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINU
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74 17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROV
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84 18. INTEGRALI CURVILINEI, FORMUL
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CAPITOLO 19 Lezione del giorno giov
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e d’altra parte: 19. INTEGRALI CU
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19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA D
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20. PRIMA PROVA IN ITINERE 95 2. Vi
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Esercizio 26.2. Dato il problema di
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