pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

202 E. RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
Tale sistema lineare può essere riscritto nella forma:
⎛
y1(x)
⎜ y
⎜
⎝
... yn(x)
′ 1(x) ... y ′ .
.
y
n(x)
.
.
(n−1)
1 (x) ... y (n−1)
y
n (x)
(n)
1 (x) ... y (n)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
n (x)
c ′ 1(x)
c ′ 2(x)
.
c ′ n−1
c ′ n
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0
0
.
0
Q(x)
La matrice dei coefficienti è chiamata il wronskiano delle soluzioni (indipendenti) y1(x), ..., yn(x). Ottenute le
soluzioni c ′ k (x), si ricavano le funzioni ck(x) per integrazione. Allora una soluzione particolare dell’equazione
sarà
¯y(x) = c1(x)y1(x) + ... + cn(x)yn(x),
e l’integrale generale dell’equazione sarà
y(x) + ¯y(x) = (c1(x) + c1)y1(x) + ... + (cn(x) + cn)yn(x), c1, ..., cn ∈ R.
Osservazione E.10. Per equazioni del secondo ordine
y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = f(t),
il metodo della variazione delle costanti si riduce alla ricerca di soluzioni del tipo
˜y = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t)
costruite a partire da due soluzioni y1(t) e y2(t) dell’equazione omogenea associata
Si ha:
y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = 0.
˜y ′ = c ′ 1y1 + c ′ 2y2 + c1y ′ 1 + c2y ′ 2.
Al fine di semplificare i calcoli, si impone c ′ 1y1 + c ′ 2y2 = 0. Questo fa sì che risulti ˜y ′ = c1y ′ 1 + c2y ′ 2 e di
conseguenza:
˜y ′′ = c ′ 1y ′ 1 + c ′ 2y ′ 2 + c1y ′′
1 + c2y ′′
2 .
Sostituendo quanto appena ricavato nell’equazione di partenza si ottiene:
(c ′ 1y ′ 1 + c ′ 2y ′ 2 + c1y ′′
1 + c2y ′′
2 ) + a(c1y ′ 1 + c2y ′ 2) + b(c1y1 + c2y2) = f
e quindi
c1(y ′′
1 + ay ′ 1 + by1) + c2(y ′′
2 + ay ′ 2 + by2) + (c ′ 1y ′ 1 + c ′ 2y ′ 2) = f.
I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché y1 e y2 sono soluzioni dell’equazione omogenea, quindi il
tutto si riduce a:
c ′ 1y ′ 1 + c ′ 2y ′ 2 = f
Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite c ′ 1 e c ′ 2:
c ′ 1y1 + c ′ 2y2 = 0
c ′ 1y ′ 1 + c ′ 2y ′ 2 = f.
Il determinante della matrice y1 y2
y ′ 1
è il Wronskiano di y1 e y2: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo
caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:
c ′ −y2f
1 =
c ′ y1f
2 =
y ′ 2 y1 − y ′ 1 y2
y ′ 2
y ′ 2 y1 − y ′ 1 y2
Integrando c ′ 1 e c ′ 2 si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell’equazione di partenza (integrando
definitamente) o l’integrale generale dell’equazione di partenza (integrando indefinitamente).
Chiariamo gli ultimi concetti con un esempio.
Esempio E.11. Consideriamo il sistema ˙z = Az + b(t) in R 2 con
A =
5 3
2 3
Lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2.
, b(t) =
t
e −t
.
⎞
⎟
⎠