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21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE 103
Verifichiamo il risultato ottenuto. Posto ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3), calcoliamo
Jac ϕ(θ, z) =
⎛
⎝ ∂θϕ1 ∂zϕ1
∂θϕ2 ∂zϕ2
∂θϕ3 ∂zϕ3
⎛
−
⎞ ⎜
⎠ ⎜
= ⎜
⎝
√ 1 + 2z2 sin θ
√
1 + 2z2 cos θ
2z cos θ
√ 1 + 2z 2
2z sin θ
√ 1 + 2z 2
0 1
Si ha che il flusso attraverso Σ orientata con la normale indotta dalla parametrizzazione (Ω =] − π/4, π/4[×] −
1, 1[) risulta quindi:
Φ(Σ,
F ) := F · ˆn dσ = ω3( F ◦ ϕ, ∂1ϕ, ∂2ϕ, ∂3ϕ)(x) dx
Σ
⎛
F1 ◦ ϕ −
⎜
⎜
= det ⎜
Ω ⎜
⎝
√ 1 + 2z2 sin θ
F2 ◦ ϕ √ 1 + 2z2 cos θ
−1
1
Ω
2z cos θ
√ 1 + 2z 2
2z sin θ
√ 1 + 2z 2
⎞
⎟ (x) dx
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
F3 ◦ ϕ 0 1
= F3 ◦ ϕ(θ, z) (−2z sin
Ω
2 θ − 2z cos 2 θ) dθdz+
+
F1 ◦ ϕ(θ, z)
Ω
1 + 2z2 cos θ + F2 ◦ ϕ(θ, z) 1 + 2z2
sin θ dθdz
= −2 (ϕ
Ω
2 1(θ, z) + ϕ 2 2(θ, z))z dθdz+
1 1
+ √ 1 + 2z2 cos θ + √ 1 + 2z2 sin θ dθdz
Ω 1 + 2z2 1 + 2z2
= −2 (1 + 2z
Ω
2
)z dθdz + (cos θ + sin θ) dθdz
1 π/4
Ω
= −2
(1 + 2z
−π/4
2
1 π/4
)z dθ dz +
(cos θ + sin θ) dθ dz
−1 −π/4
= −π
= 2
−1
π/4
−π/4
(1 + 2z 2 )z dz + 2
cos θ dθ = 2 √ 2.
π/4
−π/4
(cos θ + sin θ) dθ
Verifichiamo se la normale indotta dalla parametrizzazione è quella richiesta. Lo facciamo nel punto (1, 0, 0)
che, nella parametrizzazione, corrisponde a ϕ(0, 0). Si ha allora:
det
⎛
⎝ n1 ∂θϕ1 ∂zϕ1
n2 ∂θϕ2 ∂zϕ2
n3 ∂θϕ3 ∂zϕ3
⎞
⎠
(θ,z)=(0,0)
⎛
−1 −
⎜
= det ⎜
⎝
√ 1 + 2z2 sin θ
√
0 1 + 2z2 cos θ
2z cos θ
√ 1 + 2z 2
2z sin θ
√ 1 + 2z 2
0 0 1
⎛
−1
= det ⎝ 0
0
1
0
0
⎞
⎠ = −1 < 0,
0 0 1
⎞
⎟
⎠
(θ,z)=(0,0)
quindi la normale indotta dalla parametrizzazione è opposta a quella richiesta, pertanto il flusso rishiesto vale
−2 √ 2 che conferma il risultato precedente.