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9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 37
Esercizio 9.16. Calcolare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni:
(1) f(x, y) = 2x 3 + y 3 − 3x 2 − 3y
(2) f(x, y) = x 3 + y 3 − (1 + x + y) 3
(3) f(x, y) = cos x sin y
(4) f(x, y) = x 4 + x 2 y + y 2 + 3
(5) f(x, y) = x 4 + y 4 − 2(x 2 + y 4 ) + 4xy
Svolgimento. Tutte queste funzioni hanno derivate parziali continue in ogni punto, pertanto il differenziale
primo esiste, inoltre le derivate parziali seconde esistono e sono continue, pertanto il differenziale secondo esiste.
(1) Calcoliamo i punti critici di f:
∂xf(x, y) = 6x 2 − 6x = 0 =⇒ x ∈ {0, 1},
∂yf(x, y) = 3y 2 − 3 = 0 =⇒ y ∈ {1, −1}.
Si ricava che vi sono quattro punti critici: (0, ±1) e (1, ±1). Calcoliamo la matrice hessiana di f:
D 2 f(x, y) =:
∂ 2 xxf(p) ∂ 2 xyf(p)
∂ 2 yxf(p) ∂ 2 yyf(p)
osservando che per il Teorema di Schwarz tale matrice è simmetrica.
Pertanto:
∂ 2 xxf(x, y) = 12x − 6, ∂ 2 yxf(x, y) = ∂ 2 xyf(x, y) = 0, ∂ 2 yyf(x, y) = 6y
D 2 f(x, y) =:
12x − 6 0
0 6y
In particolare, gli autovalori di D2f(x, y) sono λ1(x, y) = 12x − 6 e λ2(x, y) = 6y. Andiamo a studiare
il segno
di tali autovalori nei quattro punti critici:
λ1(0, 1)
λ2(0, 1)
= −6
=⇒ autovalori discordi, (0, 1) è di sella.
= 6
λ1(0, −1)
λ2(0, −1)
= −6
=⇒ autovalori strettamente negativi, (0, −1) è di massimo relativo.
= −6
λ1(1, 1)
λ2(1, 1)
= 6
=⇒ autovalori strettamente positivi, (1, 1) è di minimo relativo.
= 6
λ1(1, −1)
λ2(1, −1)
= 18
=⇒ autovalori discordi, (1, −1) è di sella.
= −6
(2) Prima di procedere osserviamo che la funzione è simmetrica f(x, y) = f(y, x), Ciò abbrevierà notevolmente
i calcoli. Calcoliamo i punti critici di f:
∂xf(x, y) = 3x 2 − 3(1 + x + y) 2 = 0
∂yf(x, y) = 3y 2 − 3(1 + x + y) 2 = 0
Si ricava x = ±y. Sostituendo x = −y, si ha 3y 2 −3 = 0, da cui y = ±1, per cui i punti critici risultano
(−1, 1) e (1, −1). Sostituendo x = y si ha 3y 2 − 3(1 + 4y 2 + 2y) = 0 da cui y = −1 e y = −1/3, per cui
i punti critici risultano (−1, −1) e (−1/3, −1/3). Osserviamo che l’insieme dei punti critici è chiuso
rispetto alla simmetria (x, y) ↦→ (y, x), com’era lecito attendersi.
Calcoliamo le derivate seconde:
∂ 2 xxf(x, y) = 6x − 6(1 + x + y), ∂ 2 yyf(x, y) = 6y − 6(1 + x + y), ∂ 2 xyf(x, y) = ∂ 2 yxf(x, y) = −6(1 + x + y).
Si ha quindi
D 2
−12 −6
f(−1, 1) =:
, D
−6 0
2
0 −6
f(1, −1) =:
,
−6 −12
D 2
0 6
f(−1, −1) =: , D
6 0
2
−4 −2
f(−1/3, −1/3) =:
−2 −4
Calcoliamo gli autovalori in (−1, 1): essi sono soluzioni di λ 2 + 12λ − 36 = 0, ovvero λ1 = −6 + 6 √ 2 e
λ1 = −6 − 6 √ 2. Essi sono di segno discorde, quindi questo punto è di sella.
Calcoliamo gli autovalori in (1, −1): essi sono gli stessi di (−1, 1) quindi questo punto è di sella.
.
,