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170 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
Osserviamo che i valori α ≤ 0 non risolvono il problema, infatti se α ≤ 0 si ha per (x, y) → 0
e l’ultimo termine diverge.
Sia quindi α > 0:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
| sin(xy) − xy| α
(x 2 + y 2 ) 3
| sin(xy) − xy|
|xy| 3
≥
α
1
(x 2 + y 2 ) 3
Studiamo il limite tra parentesi tonde. Si ha |xy| ≤ 1
2 (x2 + y 2 ), pertanto
Se α > 1, il termine di destra è infinitesimo e si ha:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
0 ≤ |xy|α
x2 1
≤
+ y2 2α (x2 + y 2 ) α−1 .
|xy| α
x2 = 0, da cui lim
+ y2 ⎛
|xy| 3α
(x2 + y2 1
=
) 3 6α ⎜
⎝ lim
(x,y)→(0,0) x
(x,y)=(0,0)
2 + y2 ⎟
⎠
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0),
e dunque se α > 1 si ha che f è continua. Supponiamo ora α ≤ 1 e poniamo y = mx. Si ha
|xy| α
x2 |m|α
=
+ y2 m2 + 1
|x| 2α
,
x2 se α < 1 il limite per x → 0 è +∞, altrimenti se α = 1 è |m|/(m 2 + 1) quindi dipendente da m. In ambo i casi
si ottiene che f non è continua. Quindi f è continua se e solo se α > 1.
Per studiare il limite è possibile anche passare in coordinate polari:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
|xy| α
x2 =
+ y2 lim
ρ→0 +
x=ρ cos θ
y=ρ sin θ
|ρ2 sin θ cos θ| α
ρ 2 = lim
ρ→0 +
x=ρ cos θ
y=ρ sin θ
1
2 α ρ2α−2 | sin 2θ| α .
e il limite è nullo solo se α > 1, non esiste (dipende da θ) per α = 1, e vale +∞ per α < 1.
Esercizio 32.8. Sia f : R2 → R la funzione definita da f(x, y) = (x2 + y2 )e−y2, e sia
Calcolare, se esistono, i limiti
C = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 1 − x 2 per |x| ≤ 1 e y ≥ |x| − 1 per |x| ≥ 1}.
lim f(x, y), lim
|(x,y)|→∞
Determinare i punti di massimo e minimo vincolato per f su C.
Svolgimento. Calcoliamo il limite di f lungo gli assi:
lim
|(x,y)|→∞
y=0
|(x,y)|→∞
(x,y)∈C
f(x, y) = lim
|x|→∞ x2 = +∞, lim
f(x, y).
|xy| α
f(x, y) = lim
|(x,y)|→∞
|y|→∞
x=0
y2e −y2
= 0.
Tali limiti sono diversi tra loro, quindi il limite lim f(x, y) non esiste.
|(x,y)|→∞
Si ha 0 ≤ f(x, y) ≤ (1 + y2 )e−y2 per |x| ≤ 1 e se |x| > 1, si ha che (x, y) ∈ C se y − 1 ≥ |x| ossia (y − 1) 2 ≥ x2 .
Pertanto se (x, y) ∈ C e |x| > 1 vale 0 ≤ f(x, y) ≤ ((y − 1) 4 + y2 )e−y2. Quindi in generale se (x, y) ∈ C si ha
0 ≤ f(x, y) ≤ (1 + y 2 )e −y2
+ ((y − 1) 4 + y 2 )e −y2
.
Si ha che |(x, y)| → ∞ con (x, y) ∈ C implica y → +∞, e quindi l’ultimo termine tende a 0:
lim
|(x,y)|→∞
(x,y)∈C
f(x, y) = 0.
⎞
3