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200 E. RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
moltiplicando per D(x) e raccogliendo i termini dell stesso grado è possibile determinare le costanti Akjk , Bℓ sℓ , Cℓ sℓ ∈
R in modo univoco. A questo punto una primitiva di f si ottiene sommando le primitive di tutti i contributi,
che risultano di calcolo immediato ricordando che Akjk , Bℓ sℓ , Cℓ sℓ ∈ R sono costanti e che si ha:
⎧
1
⎪⎨ −
+ C, se n ∈ N, n > 1;
dx (n − 1)(x + a) n−1
=
(x + a) n
⎪⎩
log |x + a| + C, se n = 1.
x
(x2 ⎧
1
⎪⎨
−
2(n − 1)(x
dx =
+ 1) n
⎪⎩
2 + C,
+ 1) n−1
1
2
se n ∈ N, n > 1;
log |x2 + a| + C, se n = 1.
Per quanto riguarda il calcolo di
In =
dx
(x2 si ha I1 = arctan x + C e per n > 1
, n ∈ N
+ 1) n
x
In = −
2(n − 1)(1 + x2 2n − 3
+
) n−1 2n − 2 In−1,
quindi applicando questa formula ricorrente per il numero necessario di volte si perviene alla primitiva desiderata.
Definizione E.3. Un’equazione differenziale lineare del primo ordine in I × Y è della forma:
y ′ (t) = A(t)y(t) + b(t),
dove A ∈ C 0 (I, LK(Y )), b ∈ C 0 (I, Y ) e LK(Y ) indica lo spazio vettoriale degli operatori lineari continui di Y
in se stesso. Se Y ha dimensione finita n, allora LK(Y ) è isomorfo allo spazio delle matrici n × n a coefficienti
in K, pertanto A(t) in questo caso è una matrice n × n i cui coefficienti sono funzioni continue da I in K.
Questa equazione soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità. Se b(t) = 0 per ogni t l’equazione diviene
y ′ (t) = A(t)y(t) detta anche omogenea associata a y ′ = A(t)y + b(t). Un’equazione lineare omogenea ammette
sempre la soluzione identicamente nulla.
Un caso particolare della precedente definizione, ovvero con Y = R o C, è dato da:
Definizione E.4 (Equazioni lineari del primo ordine scalari).
Caso omogeneo: tali equazioni si presentano nella forma:
y ′ (t) = a(t)y
con a ∈ C 0 (I, K), I intervallo di R. La loro soluzione è data da:
y(t) = c0e A(t)
al variare di c0 ∈ K, dove A(t) ∈ a(t) è una primitiva di a(t). Ricordiamo che tale equazione ammette sempre
la soluzione identicamente nulla. Caso non omogeneo: Tali equazioni si presentano nella forma:
y ′ (t) = a(t)y + b(t)
con a, b ∈ C 0 (I, K), I intervallo di R. Se A(t) ∈ a(t) è una primitiva di a(t) e B(t) ∈ e −A(t) b(t) è una
primitiva di e −A(t) b(t), allora le soluzioni sono date al variare di c ∈ K dall’equazione:
y(t) = ce A(t) + e A(t) B(t)
Nel caso sia assegnata una condizione iniziale y(t0) = y0, la soluzione (unica) è data da:
t t t t
y(t) = y0 exp a(t) dt + exp a(t) dt exp − a(t) dt b(t) dt,
dove exp(x) = e x .
Più in generale ricordiamo la seguente:
t0
Proposizione E.5 (conseguenze della linearità). I seguenti fatti sono conseguenze della linearità:
t0
t0
t0