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120 23. EQUAZIONI TOTALI E EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON AUTONOME
(3) Il problema è posto in Ω := {(x, y) : y > 0}. L’equazione totale associata è:
˜ω(x, y) := ˜p(x, y) dx + ˜q(x, y) dy = (y + e x√ y) dx − dy = 0.
Tale forma non è esatta e la ricerca del fatttore integrante non appare immediata. Osserviamo che
l’equazione ammette la soluzione costante y ≡ 0. Moltiplicando l’equazione per √ y, si ha:
ω(x, y) := p(x, y) dx + q(x, y) dy = (y 3/2 + e x y) dx − √ y dy = 0.
Nemmeno questa forma è esatta, tuttavia si ha:
∂yp(x, y) − ∂xq(x, y) = 3/2y 1/2 + e x = 1
y
quindi la forma ammette il fattore integrante
h(x, y) = exp − dy
y +
−1/2 dx
Cerchiamo un potenziale della forma esatta
h(x, y)ω(x, y) = e−x/2
y
1
p(x, y) − q(x, y),
2
= exp(−x/2 − log y) = e−x/2
.
y
(y 3/2 + e x y) dx − e−x/2 √ −x/2 x √ e
y dy = e (e + y) dx −
y
−x/2
√ dy
y
A tal proposito, congiungiamo il punto (0, 1) ∈ Ω con il generico punto (x0, y0) ∈ Ω mediante una
spezzata γ con segmenti paralleli agli assi.
x0
V (x0, y0) = h(x, y)ω(x, y) = e
γ
0
−x/2 (e x y0
+ 1) dx + −
1
e−x0/2
√ dy
y
=
x0
(e
0
x/2 + e −x/2 ) dx + 2(1 − √ y0 )e −x0/2 x0/2 √
= 2(e − y0e −x0/2
)
Si ha quindi che le soluzioni sono espresse in forma implicita da
da cui si ricava
2e −x/2 (e x − √ y) = d, d ∈ R,
y = (e x + ce x/2 ) 2 , c ∈ R,
con la condizione e x + ce x/2 ≥ 0, ossia d ≥ −e x/2 .
Esercizio 23.2. Trovare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali
(1) y ′ = y
x +
1 − y2
x2 .
(2) y ′ − 2x2−1 x(x2−1) y = 2x2√x2 − 1.
Svolgimento.
(1) Il problema è posto per |y/x| ≤ 1. L’equazione totale associata all’equazione assegnata è
y
x +
1 − y2
x2
dx − dy = 0
Osserviamo che tale equazione totale è omogenea di grado 0. Poniamo quindi x = ξ, y = ξη ottenendo
η + 1 − η2
dξ − (ξ dη − η dξ) = 0,
da cui
1 1
dξ − dη = 0.
ξ 1 − η2 Tale forma è esatta e l’integrazione è immediata. Sostituendo, si ha:
V (x, y) = log |x| − arcsin(y/x)
e le soluzioni sono espresse da log |x| − arcsin(y/x) = c, c ∈ R.