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154 29. ESERCIZI RICAPITOLATIVI
osservando che la frontiera di T è percorsa in senso antiorario, applichiamo le formule di Gauss-Green per avere:
I = − (∂xQ − ∂yP ) dxdy = − y −
T
T
1
1 + y2
dx dy
1 1−|y|
= −
y − 1
1 + y2
dx dy
= −
−1
1
−1
1
0
y(1 − |y|) dy +
1
−1
1 − |y|
dy
1 + y2 1 − y
= 2
0 1 + y2 = [2 arctan y − log(1 + y 2 )] y=1 π
y=0 = − log 2.
2
Utilizzando ancora le formule di Gauss Green si ha:
M := x 2
dx dy = (∂xQ − ∂yP ) dxdy,
si può scegliere Q(x, y) = x3 /3, P = 0 ottenendo
x
M = Q(x, y) dy =
γ
γ
3
dy =
3
= 1 1 1
+ =
12 12 6 .
Si poteva anche procedere direttamente:
M = x 2 dx dy =
= 1
3
= 2
3
T
T
1
−1
1
0
1
0
1
(1 − |y|) 3 dy
−1
T
(1 − y) 3 dy = 1
6 .
Esercizio 29.6. Si consideri il sottoinsieme del piano
t3 1
(1 − t)
dt +
3 0
3 1
dt − 0 dt
3
−1
1−|y|
x 2
dx dy
Γ = {(x, y) ∈ R 2 : (x 2 + y 2 + 12x + 9) 2 = 4(2x + 3) 3 },
chiamato deltoide di Eulero.
(1) Si provi che cos(3θ) = cos θ(1 − 4 sin 2 θ) = cos θ(cos 2 θ − 3 sin 2 θ)
(2) Si esprima Γ in coordinate polari piane e, utilizzando il precedente, si dimostri che Γ è invariante per
attorno all’origine.
rotazioni di 2π
3
(3) Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nei punti P1 = (−1, 0), P2 = (1/2, √ 3/2) e P3 =
(1/2, − √ 3/2). Si provi che tali tangenti delimitano un triangolo equilatero. Si dica:
(a) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P0, una funzione y = ϕ1(x) con ϕ1(−1) = 0 e in
caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 1(0).
(b) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P1, una funzione y = ϕ2(x) con ϕ2(1/2) = √ 3/2 e
in caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 2(1/2).
(c) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P2, una funzione y = ϕ3(x) con ϕ3(1/2) = − √ 3/2
e in caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 3(1/2).
(4) Si determinino massimi e minimi della funzione h(x, y) = x2 +y2 vincolati a Γ. Si dica se Γ è compatto.
(5) Si dica se in (3, 0) il Teorema di Dini è applicabile. Si tracci un grafico qualitativo di Γ.
Svolgimento. Poniamo
F (x, y) = (x 2 + y 2 + 12x + 9) 2 − 4(2x + 3) 3 .
Osserviamo preliminarmente che l’insieme è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse perché F (x, y) = F (x, −y).
(1) la seconda uguaglianza è ovvia perché cos 2 θ + sin 2 θ = 1, per quanto riguarda la prima:
cos 3θ = cos(θ + 2θ) = cos θ cos 2θ − 2 sin 2 θ cos θ
= cos θ(1 − 2 sin 2 θ) − 2 sin 2 θ cos θ = cos θ(1 − 4 sin 2 θ)
0