pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINUAZIONE 69
Svolgimento. La curva ha equazione 1 − y4 = (x − 1) 2 ovvero (1 − y)(1 + y)(1 + y2 ) = (x − 1) 2 da cui
−1 ≤ y ≤ 1 e 1 − 1 − y4 < x < 1 + 1 − y4 . Quindi si ha:
1
√
1+ 1−y4 I =
−1 1− √ 1−y4 1
√
1+ 1−y4 1 + y
x dx dy =
1 − y −1 1− √ 1−y4
1 + y
x dx dy
1 − y
= 1
1
1 + y
2 −1 1 − y ((1 + 1 − y4 ) 2 − (1 − 1 − y4 ) 2 1
1 + y
) dy = 2
1 − y4 dy
−1 1 − y
1
= 2 (1 + y) 1 + y2 1
dy = 2 1 + y2 dy − 2 y 1 + y2 dy
= 4
−1
1
0
−1
1 + y 2 dy = 2( √ 2 + arc sinh(1)) = 2( √ 2 + log(1 + √ 2))
Esercizio 16.4. Si provi che la funzione |(x, y)| −p è integrabile su B = B(0, 1) ⊆ R 2 se e solo se p < 2 ed è
integrabile su R 2 \B(0, 1) se e solo se p > 2. Analogamente, la funzione |(x, y, z)| −p è integrabile su B(0, 1) ⊆ R 3
se e solo se p < 3 ed è integrabile su R 3 \ B(0, 1) se e solo se p > 3.
Svolgimento. In coordinate polari, se p = 2 si ha
|(x, y)| −p 2π 1
1
dx dy =
ρ dρ dθ = 2π
ρp B
che è finito solo se p < 2. Se p = 2 si ottiene
0
2π
0
1
0
1
1
ρ = 2π[log ρ]1 0 = +∞,
0
ρ 1−p dρ = 2π
(2 − p) [ρ2−p ] ρ=1
ρ=0 ,
Pertanto l’integrale su B(0, 1) ⊆ R2 è finito solo per p < 2.
In modo del tutto analogo, se p = 2:
|(x, y)| −p 2π +∞
1
2π
dx dy =
ρ dρ dθ =
ρp (2 − p) [ρ2−p ] ρ=∞
ρ=1
R 2 \B
che è finito solo se p > 2. Se p = 2 si ottiene
2π
∞
1
0
1
1
ρ = 2π[log ρ]∞ 1 = +∞,
pertanto l’integrale su R2 \ B converge solo se p > 2.
Nel secondo caso utilizziamo coordinate sferiche: x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, e il determinante
Jacobiano della trasformazione è ρ2 sin φ da cui se p = 3 si ha
π 2π 1
0
0
0
ρ 2−p sin φ dρ dθ dφ = 4π
3 − p
π/2
che è finito solo se p < 3. Se p = 3 si ottiene
1
1
4π = +∞
0 ρ
Pertanto l’integrale su B(0, 1) ⊆ R3 è finito solo per p < 3.
In modo del tutto analogo, se p = 3 si ha
R 3 \B(0,1)
che è finito solo se p > 3. Se p = 3 si ha
0
sin φ dφ · [ρ 3−p ] ρ=1 4π
ρ=0 =
3 − p [ρ3−p ] ρ=1
ρ=0
|(x, y, z)| −p dx dy dz = 4π
3 − p [ρ3−p ] ρ=+∞
ρ=1
R3 |(x, y, z)|
\B(0,1)
−p dx dy dz = 4π[log ρ] ∞ 1 = +∞.
Pertanto l’integrale su R 3 \ B(0, 1) converge solo per p > 3.
Esercizio 16.5. Calcolare il seguente integrale doppio:
I := dx dy
essendo D la regione piana compresa tra la curva di equazione polare ρ = 1 + cos θ per θ ∈ [0, π] e l’asse x.
D