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38 9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI<br />
Calcoliamo gli autovalori in (−1, −1): essi sono soluzioni di λ2 − 36 = 0, ovvero λ = ±6, essi sono di<br />
segno discorde, quindi questo punto è di sella.<br />
Calcoliamo gli autovalori in (−1/3, −1/3): essi sono soluzioni di λ2 + 8λ + 12 = 0, ovvero λ1 = −6,<br />
λ2 = −2. Essi sono strettamente negativi, quindi questo punto è di massimo relativo. Si poteva<br />
procedere anche osservando che il primo elemento della diagonale principale (minore di ordine dispari)<br />
è strettamente negativo, e il determinante (ovvero il minore di ordine pari ottenuto orlando il precedente<br />
di una riga e colonna dello stesso indice) è pos<strong>it</strong>ivo.<br />
(3) La funzione è periodica di periodo 2π in ciascuna delle sue componenti. Pertanto lim<strong>it</strong>iamo lo studio<br />
al quadrato [0, 2π[×[0, 2π[, estendendo poi i risultati per periodic<strong>it</strong>à. Le derivate parziali sono<br />
∂xf(x, y) = − sin x sin y e ∂yf(x, y) = cos x cos y. Studiamo i punti cr<strong>it</strong>ici, ovvero dove esse si annullano<br />
simultaneamente. Si ha ∂xf(x, y) = 0 per x ∈ {0, π} oppure y ∈ {0, π}, e ∂yf(x, y) = 0<br />
per x ∈ {π/2, 3π/2} oppure y ∈ {π/2, 3π/2}. I punti cr<strong>it</strong>ici sono quindi (0, π/2), (0, 3π/2), (π, π/2),<br />
(π, 3π/2), (π/2, 0), (3π/2, 0), (π/2, π), (3π/2, π).<br />
Le derivate seconde sono ∂2 xxf(x, y) = − cos x sin y, ∂2 yyf(x, y) = − cos x sin y, ∂2 xyf(x, y) = − sin x cos y.<br />
Si ha quindi:<br />
D 2 <br />
−1 0<br />
f(0, π/2) =:<br />
massimo, D<br />
0 −1<br />
2 <br />
1 0<br />
f(0, 3π/2) =: minimo,<br />
0 1<br />
D 2 <br />
1 0<br />
f(π, π/2) =: minimo, D<br />
0 1<br />
2 <br />
−1 0<br />
f(π, 3π/2) =:<br />
massimo,<br />
0 −1<br />
D 2 <br />
0 −1<br />
f(π/2, 0) =:<br />
sella, D<br />
−1 0<br />
2 <br />
0 1<br />
f(3π/2, 0) =: sella,<br />
1 0<br />
D 2 <br />
0 1<br />
f(π/2, π) =: sella, D<br />
1 0<br />
2 <br />
0 −1<br />
f(3π/2, π) =:<br />
sella.<br />
−1 0<br />
Pertanto:<br />
(a) la funzione assume il massimo nei punti (2kπ, π/2 + 2hπ), (π + 2kπ, 3π/2 + 2hπ), h, k ∈ Z, e tale<br />
massimo vale 1.<br />
(b) la funzione assume il minimo nei punti (2kπ, 3π/2 + 2hπ), (π + 2kπ, π/2 + 2hπ), h, k ∈ Z, e tale<br />
minimo vale −1.<br />
(c) i punti (π/2 + kπ, hπ), h, k ∈ Z sono di sella.<br />
(4) Le derivate parziali sono<br />
∂xf(x, y) = 4x 3 + 2xy = x(4x 2 + y), ∂yf(x, y) = x 2 + 2y.<br />
Tali derivate su annullano simultaneamente solo in (0, 0) come si vede per sost<strong>it</strong>uzione. Calcoliamo le<br />
derivate seconde: ∂2 xxf(x, y) = 12x2 + 2y, ∂2 yyf(x, y) = 2, ∂2 xyf(x, y) = 2x. Si ha quindi<br />
D 2 <br />
0 0<br />
f(0, 0) =: semidefin<strong>it</strong>a pos<strong>it</strong>iva.<br />
0 2<br />
La matrice è semidefin<strong>it</strong>a, per cui non possiamo immediatamente dire se (0, 0) sia un estremale.<br />
Osserviamo che f(x, y) = g(x 2 , y) dove g(v, w) = v 2 + vw + w 2 + 3. Studiamo il segno dell’espressione<br />
v 2 + vw + w 2 per v > 0 (infatti è v = x 2 > 0 se x = 0). Per v > 0 fissato, risolviamo v 2 + vw + w 2 = 0<br />
come equazione in w. Il discriminante di tale equazione è v 2 −4v 2 < 0, quindi l’espressione v 2 +vw+w 2<br />
non è mai nulla se v > 0. In particolare (prendendo i lim<strong>it</strong>i per w → ±∞ per v > 0 fissato) si ottiene<br />
che tale espressione è sempre strettamente pos<strong>it</strong>iva. Quindi f(x, y) = g(x 2 , y) > 3 = f(0, 0) per ogni<br />
x = 0, e quindi (0, 0) è di minimo assoluto stretto.<br />
(5) f(x, y) = x 4 + y 4 − 2(x 2 + y 4 ) + 4xy Le derivate parziali sono<br />
∂xf(x, y) = 4x 3 − 4x + 4y, ∂yf(x, y) = −4y 3 + 4x.<br />
Esse si annullano nei punti che soddisfano x = y 3 , 4y 9 −4y 3 +4y = 0, ovvero x = y 3 , y(y 8 −y 2 +1) = 0.<br />
Si ha la soluzione (0, 0). Proviamo che essa è l’unica. E’ sufficiente provare che y 8 − y 2 + 1 = 0 se<br />
y = 0: infatti, se 0 < |y| ≤ 1 si ha 1 − y 2 ≥ 0, pertanto y 8 − y 2 + 1 ≥ y 8 > 0, e se |y| > 1 si ha y 8 > y 2<br />
da cui y 8 − y 2 + 1 > 1 > 0. Quindi l’unico punto cr<strong>it</strong>ico è l’origine. Calcoliamo le derivate seconde:<br />
∂ 2 xxf(x, y) = 12x 2 − 4, ∂ 2 yyf(x, y) = −12y 2 , ∂ 2 xyf(x, y) = 4. Si ha quindi:<br />
D 2 f(0, 0) =:<br />
−4 4<br />
4 0<br />
<br />
sella