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APPENDICE E
Richiami sulle equazioni differenziali lineari
linearità sost. Sinonimi: austerità, chiarezza, finezza, drittura, moralità,
modestia, sobrietà, geometria Vedi anche: essenzialità, pulizia, comprensibilità,
semplicità, purezza, squisitezza Contrari: difficoltà Vedi anche
delicatezza, scabrosità, spinosità.
Dizionario dei sinonimi e contrari.
In questa sezione richiamiamo alcuni risultati sulle equazioni differenziali lineari in un K-spazio di Banach Y ,
con K = R o C. Come al solito, il lettore può sempre pensare Y = R n . In tutta la sezione, I indicherà un
intervallo di R. Cominceremo col ricordare alcuni strumenti fondamentali per la risoluzione delle equazioni
differenziali ordinarie lineari.
Definizione E.1 (esponenziale di matrice). Siano t ∈ R, A ∈ Matn×n(C) l’esponenziale di matrice è definito
da e tA = (tA) j
. Se A è una matrice diagonale e gli elementi sulla diagonale principale sono λ1, ..., λn, si
j!
j∈N
ha che e tA è una matrice diagonale e gli elementi sulla diagonale principale sono eλ1t λnt , ..., e . Se P è matrice
invertibile tale che P AP −1 = D sia diagonale, allora P etAP −1 = etD .
Definizione E.2 (integrazione delle funzioni razionali fratte). Indichiamo con K[x] l’insieme dei polinomi
a coefficienti in K. Dati N, D ∈ R[x] polinomi a coefficienti reali, una funzione razionale fratta è il quoziente
f(x) = N(x)/D(x). Supponiamo che N e D non abbiano fattori comuni tra loro (altrimenti li semplifichiamo).
Nella ricerca di primitive di f possono presentarsi due casi:
(1) o il grado di D è maggiore di quello di N,
(2) altrimenti se il grado di N è maggiore o uguale a quello di D è possibile eseguire la divisione tra
polinomi determinando due polinomi Q, R ∈ R[x] tali che f(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Una primitiva
di f si ha sommando una primitiva del polinomio Q e della razionale fratta R(x)/D(x) dove il grado
di R è minore di quello di D.
Il problema è quindi ricondotto alla ricerca di primitive di f(x) = N(x)/D(x) con N, D polinomi in cui il grado
di D è strettamente maggiore di quello di N e privi di fattori in comune.
Supponiamo che x1, ..., xd ∈ R siano le radici reali di D, e supponiamo che α1+iβ1, α1−iβ1, ..., αh+iβh, αh−iβh ∈
C \ R siano le radici complesse non reali di D. Ricordiamo che, essendo D a coefficienti reali, se c’è una radice
complessa non reale, vi è anche la complessa coniugata ed entrambe hanno la stessa molteplicità. Allora esistono
costanti Akjk , Bℓ sℓ , Cℓ sℓ ∈ R tali che f si scriva come una somma finita formata dai seguenti termini:
(1) per ogni radice reale xk di molteplicità νk si ha il contributo:
Ak1 Ak2
Akνk
+ + ... +
x − xk (x − xk) 2 (x − xk) νk
(2) per ogni coppia di radici complesse coniugate non reali αℓ + iβℓ, αℓ − iβℓ, della stessa molteplicità µℓ
si ha il contributo:
Pertanto dall’uguaglianza:
Bℓ 1x + Cℓ 1
(x − αℓ) 2 + β 2 ℓ
f(x) = N(x) Ak1
=
D(x) x − xk
k
+
ℓ
+
+
Bℓ 2x + Cℓ 2
((x − αℓ) 2 + β2 ℓ )2 + ... + Bℓ µℓx + Cℓ µℓ
((x − αℓ) 2 + β2 ℓ )µℓ
.
Ak2
+ ... +
(x − xk) 2
Bℓ 1x + Cℓ 1
(x − αℓ) 2 + β 2 ℓ
+
Akνk
(x − xk) νk
+
Bℓ 2x + Cℓ 2
((x − αℓ) 2 + β2 ℓ )2 + ... + Bℓ µℓx + Cℓ µℓ
((x − αℓ) 2 + β2 ℓ )µℓ
.
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