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22. FORME DIFFERENZIALI 111
Quindi:
1 1/2
lunghezza(γ) = ω1(t) dt = 3t
0
0
t2 √ 1
37
+ 4 dt + t dt
1/2 3
= 3
√ 1/4
√ 17/4
37 3
w + 4 dw + = z
2 0
8 2 4
1/2 √
37
dz +
8
= [z 3/2 ] z=5/4
z=17/4 +
√
37
8 = 17√ √
17 37
− 8 +
8
8
Verifichiamo il risultato ottenuto: dal teorema di Pitagora, essendo γ2 un segmento di retta, si ha che
la lunghezza di γ2 è pari a (3/4) 2 + (1/8) 2 = √ 37/8. Per quanto riguarda la lunghezza di γ1, essa è
l’arco di equazione y = 3x2/3 , 0 ≤ x ≤ 1/8, pertanto la lunghezza è data da:
1/8
0
1 + ˙y 2 dx =
=
1/8
0
1/2
0
1 + 4x −2/3 dx =
1/2
3t t 2 + 4 dt = 17√ 17
8
0
1 + 4t −2 3t 2 dt
che conferma il calcolo precedente.
(2) Poniamo ωi = ωx i dx+ωy i dy per i = 1, 2. La condizione di chiusura porge: ∂yωx 1 = 1, ∂xω y
1 = 0, quindi
ω1 non è chiusa. Si avrà:
1/2
ydx + ydy = 3t 2 · 3t 2 1/2
dt + 3t 2
· 6t dt +
γ
0
= 9 9
+
160 32 +
0
1/8
0
6x dx +
0
1/8
= 9 9 3 9 3
+ − − =
160 32 64 32 320 .
− 8.
6x · 6 dx
Per quanto riguarda ω2 si ha che ω2 = df(x, y) con f(x, y) = xy, pertanto essa è esatta. Essendo γ un
circuito, l’integrale di ω2 su di esso è nullo.
Esercizio 22.22. Si consideri la forma
ω =
con B,C numeri reali, definita su R 2 \ {(0, 0)}.
x + By
x2 Cx + y
dx +
+ y2 x2 + y
a) Determinare tutti i valori B, C tali che ω sia chiusa;
b) per tali valori provare che ω è esatta in Ω = {(x, y) : x > 0, y > 0} e calcolarne un potenziale;
c) per i valori di B, C di cui al punto a) determinare l’integrale curvilineo di ω sulla circonferenza unitaria,
percorsa in senso antiorario;
d) dedurre da c) i valori di B, C per cui ω è esatta in R 2 \ {(0, 0)}.
Svolgimento. Poniamo ω = ωx dx + ωy dy.
2 dy,
a) La condizione di chiusura è ∂yωx = ∂xωy, da cui si ricava (x2 + y2 = 0):
∂ x + By
∂y x2 + y2
= ∂
Cx + y
∂x x2 + y2
B(x 2 + y 2 ) − (x + By)2y
(x 2 + y 2 ) 2
γ2
= C(x2 + y 2 ) − (Cx + y)2x
(x 2 + y 2 ) 2
Bx 2 + By 2 − 2xy − 2By 2 = Cx 2 + Cy 2 − 2Cx 2 − 2xy
(B − C)(x 2 + y 2 ) = 2By 2 − 2Cx 2
e tale identità deve valere per ogni (x, y) ∈ R 2 \ {0, 0}. Scegliendo ad esempio x = 0 e y = 1 si ottiene:
B − C = 2B da cui C = −B, quindi sostituendo di nuovo 2B(x 2 + y 2 ) = 2By 2 + 2Bx 2 che è verificata
sempre per ogni B ∈ R. Pertanto ω è chiusa se e solo se C = −B.
ω1