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APPENDICE D
Equazioni differenziali totali
Il tutto è maggiore
della somma delle sue parti.
Aristotele.
Definizione D.1. Sia data una 1-forma differenziale ω(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy dove le funzioni M,
N sono definite in un dominio (di solito semplicemente connesso) D del piano R 2 e ivi continue. Chiameremo
equazione differenziale totale ogni espressione del tipo ω(x, y) = 0. Risolvere un’equazione differenziale totale
significa determinare una funzione F (x, y) e una funzione λ(x, y) tale per cui dF (x, y) = λ(x, y)ω(x, y) e λ(x, y) =
0 in D. Una soluzione o integrale generale dell’equazione totale sarà F (x, y) = c, con c ∈ R costante arbitraria.
Se S = {(x, y) ∈ D : M(x, y) = N(x, y) = 0}, il problema è posto in D \ S.
Breve sintesi delle tipologie più comuni:
(1) Equazioni differenziali totali esatte: Sono del tipo ω(x, y) = 0 con
ω(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy forma esatta,
ovvero esiste una funzione differenziabile (detta primitiva di ω) F (x, y) tale che dF = ω, cioè:
∂F
(x, y) = M(x, y),
∂x
∂F
(x, y) = N(x, y).
∂y
Se F (x, y) è una primitiva di ω, l’integrale generale in forma implicita è F (x, y) = c, c ∈ R, ovvero si
può scegliere λ(x, y) ≡ 1. Nel caso in cui il dominio sia semplicemente connesso, l’essere forma esatta
è equivalente alla condizione di chiusura
∂M
∂y
∂N
(x, y) = (x, y).
∂x
Differenziando tale relazione, si ha infatti dF (x, y) = ω(x, y) = 0.
(2) Equazioni differenziali totali a variabili separate: Si presentano nella forma ω(x, y) = 0 con
ω(x, y) = M(x) dx + N(y) dy
Se f(x) è una primitiva di M e g(y) è primitiva di N, l’integrale generale in forma implicita è f(x) +
g(y) = c, c ∈ R.
(3) Equazioni differenziali totali a variabili separabili: Si presentano nella forma ω(x, y) = 0 con
ω(x, y) = ϕ(x)ψ(y) dx + ϕ1(x)ψ1(y) dy
Supposto ψ(y) = 0, ϕ1(x) = 0, si divide l’equazione per ψ(y)ϕ1(y) riconducendosi al caso precedente
(variabili separate).
(4) Equazioni differenziali totali omogenee: Sia ω(x, y) = M(x) dx + N(y) dy. Se le funzioni M e N
sono funzioni omogenee in D, ovvero esiste α ∈ R tale che per ogni k > 0:
M(kx, ky) = k α M(x, y), N(kx, ky) = k α N(x, y),
definite su un cono 1 C di R 2 .
Posto x = ξ, y = ξη si ottiene la forma esatta:
1
N(1, η)
dξ +
dη = 0.
ξ M(1, η) + ηN(1, η)
1 Ricordiamo che C ⊆ R 2 è un cono di R 2 se soddisfa la seguente proprietà: dati (x, y) ∈ C allora (kx, ky) ∈ C per ogni k > 0.
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