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172 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
Per quanto riguarda il problema dell’estendibilità osserviamo che:
(1) Sia x ∈ R\] − δ, δ[ fissato e consideriamo la funzione
y ↦→ y 3 − 2xy 2 + cos(xy) − 2 := gx(y).
Per ogni x ∈ R\] − δ, δ[, la funzione gx(y) è continua da R in R, inoltre
lim
y→+∞ gx(y) = +∞, lim
y→−∞ gx(y) = −∞
Per il Teorema di esistenza degli zeri, esiste almeno un punto yx (non necessariamente unico) tale per
cui gx(yx) = 0, pertanto è sempre possibile selezionare una funzione x ↦→ yx che estenda ϕ. Si noti
che l’estensione così costruita potrebbe non avere alcuna proprietà di continuità o differenziabilità.
Esercizio 32.11. Si consideri nel piano (y, z) la regione compresa tra l’asse z = 1 e la curva di equazione
z = √ y − 2 con 3 ≤ y ≤ 6.
a) Si calcoli il baricentro di D.
b) Si determini il volume del solido ottenuto ruotando D attorno all’asse delle z.
Svolgimento. Denominata con S tale regione, si ha che
a) L’area della regione S è:
M :=
6
3
S = {(y, z) : 1 ≤ z ≤ y − 2, 3 ≤ y ≤ 6}.
( y − 2 − 1) dy =
4
Indicato con G = (Gy, Gz) il baricentro:
Gz = 1
z dydz =
M S
3
5
Gy = 1
y dydz =
M
3
5
(y − 2 = t 2 ) = 3
5
S
2
1
1
( √ t − 1) dt = 2
3 [t3/2 ] 4 1 − 3 = 16 2 5
− − 3 =
3 3 3 .
6 √ y−2
3 1
6 √ y−2
2(t 2 + 2)t 2 dt = 326
25 .
b) Per il Teorema di Guldino, si ha V = 2πGyM = 652
15 π.
3
1
z dzdy = 3
10
y dzdy = 3
5
Esercizio 32.12. Si determini l’area della parte di superficie conica:
6
3
6
S = {(x, y, z) : z = 1 − x 2 + y 2 , z ≥ 0, y ≥ √ 2/2}.
3
((y − 2) − 1) dy = 27
20
y( y − 2 − 1) dy
Svolgimento. Si ha z ≥ 0 se e solo se x2 +y2 ≤ 1, da cui y ≤ 1. Si ha allora √ 2/2 ≤ y ≤ 1 e |x| ≤ 1 − y2 .
Essendo la superficie un grafico z = f(x, y) l’elemento di superficie è
ω2(x, y) = 1 + |∇f(x, y)| 2
2 2
=
x
y
1 + + =
x2 + y2 x2 + y2 √ 2.
L’area vale pertanto:
A =
1
√ 1−y 2
√
2/2 − √ 1−y2 π/2
π/2
√ √
1 √
2dxdy = 2 2 √ 1 − y2 dy = 2 2
2/2
π/2
= 2 √ 2 cos
π/4
2 θ dθ = 2 √ cos(2θ) + 1
2
dθ =
π/4 2
√ 2
√ √ √ π
2 2
2
= π + cos z dz = (π − 2).
4 2
4
π/2
π/4
π/2
π/4
1 − sin 2 θ cos θ dθ
(cos(2θ) + 1) dθ
Esercizio 32.13. Date la superficie S = {(x, y, z) : x = s cos t, y = t, z = s sin t, t ∈ (0, π), s ∈ (1, 2)} e la
funzione f : R3 → R, f(x, y, z) = yz, si calcoli l’integrale
f dσ.
S