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CAPITOLO 26
Lezione del giorno martedì 19 gennaio 2010 (1 ora)
Studi qualitativi
Esercizio 26.1. Si consideri, per ogni α ∈ R, il seguente problema di Cauchy per x ≥ 0:
y ′ (x) = 1 − x 2 y 2 (x),
y(0) = α.
Si chiede di effettuare uno studio qualitativo delle soluzioni del problema dato al variare del parametro reale
α, con particolare riguardo al limite per x → +∞, qualora si possa considerare, o all’eventuale presenza di un
asintoto verticale. Discutere l’esistenza e l’unicità di un valore α ∗ tale che la corrispondente soluzione y ∗ risulti
monotona su [0, +∞). Si estenda infine lo studio precedente alla semiretta (−∞, 0]. Si dica se esistono soluzioni
definite su tutto R.
Svolgimento. Vale il teorema di esistenza e unicità locale.
(1) Punti a tangente orizzontale e regioni di monotonia: si ha y ′ = (1 − xy)(1 + xy) pertanto y ′ si annulla
sui quattro rami delle due iperboli equilatere di equazioni xy = ±1. Per continuità si ha che y ′ > 0
nella regione connessa da essi delimitata contenente gli assi.
(2) Simmetrie: posto z(x) = −y(−x), si ha che z soddisfa la stessa equazione soddisfatta da y, pertanto
se y(x) è soluzione per x ≥ 0, anche la funzione di grafico simmetrico rispetto all’origine è soluzione
per x ≤ 0. Limitiamo quindi lo studio al caso x ≥ 0.
(3) Regioni invarianti: consideriamo il sistema ˙x = 1, ˙y = 1 − x 2 y 2 . Per questo sistema si ha che le
due regioni connesse di piano definite da {|xy| > 1, x ≥ 0} sono invarianti, pertanto tali regioni sono
invarianti in avanti per l’equazione di partenza e i punti della loro frontiera sono punti di massimo
relativo per la soluzione. In modo analogo si ottiene che {|xy| > 1, x ≤ 0} sono invarianti all’indietro
e i punti della loro frontiera sono punti di minimo per la soluzione.
(4) Studio del caso α > 0, x ≥ 0: Sia α > 0, la soluzione per x > 0 è crescente e quindi incontra il ramo di
iperbole nel primo quadrante nel punto di massimo (xα, yα) con 1/xα = yα > α, e poi è decrescente:
quindi per x > xα essa è limitata dall’alto da yα e dal basso dal ramo di iperbole contenuto nel
primo quadrante. Pertanto se α > 0 la soluzione è definita per ogni x ≥ 0. Per x > xα essa è
strettamente decrescente e limitata dal basso e quindi ammette limite finito, pertanto deve avere un
asintoto orizzontale. Poiché y ′ (x) = 1 − x 2 y(x) 2 e il limite per x → +∞ di questa espressione deve
essere nullo, l’unica possibilità è che si abbia y(x) → 0 + per x → +∞.
(5) Studio del caso α > 0, x ≥ 0: Se α = 0, si ha y ′ (0) = 1 quindi esiste un intorno di 0 dove la soluzione
è strettamente crescente, in particolare esiste ε > 0 tale che y(ε) > 0 e y ′ (ε) > 0. A questo punto
l’andamento è il medesimo del caso per α > 0.
(6) Studio del caso α < 0, x ≥ 0: osserviamo che il primo quadrante è una regione invariante in avanti,
pertanto tutte le soluzioni che vi entrano ad un certo istante x0 > 0 vi rimangono per tutti gli istanti
successivi, crescono a partire da x0 fino all’intersezione con il ramo di iperbole nel primo quadrante
(che avviene nel punto (xα, yα) con xα > x0 e yα > 0 e poi decrescono asintoticamente verso 0. Poiché
y ′ < 1, per x ≥ 0 la soluzione è sempre sotto alla retta y = x + α, e in particolare per α < −1 tale
retta interseca il ramo di iperbole nel IV quadrante. Pertanto una soluzione con α < −1 cresce fino a
toccare un punto di tale ramo di iperbole (dove ha il massimo) e poi entra in una regione invariante di
decrescenza. Se avesse limite finito, esso dovrebbe essere nullo perché la soluzione dovrebbe avere un
asintoto orizzontale e quindi passando al limite nell’equazione, si dovrebbe avere y → 0, tuttavia ciò
non è consentito per l’invarianza della regione di decrescenza, dunque il suo limite è −∞. È necessario
stabilire se raggiunge −∞ in tempo finito oppure no. A tal proposito, notiamo che per il teorema di
esistenza e unicità, esiste ε = ε(α) > 0 tale che la soluzione sia senz’altro definita per |x| < ε e per
x > ε nell’intervallo massimale di definizione vale y ′ < 1 − ε2y2 . Consideriamo quindi la soluzione di
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