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70 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINUAZIONE
da cui
Posto:
Svolgimento. Si ha:
Esercizio 16.6. Sia:
si calcoli:
Svolgimento. Poiché
D = {(s cos θ, s sin θ) : θ ∈ [0, π], s ∈ [0, 1 + cos θ]}
π 1+cos θ
π
I :=
ρ dρ dθ =
0 0
1
(1 + cos θ)
2 0
2 dθ
= 1
π
dθ +
2 0
1
π
2 cos θ dθ +
2 0
1
π
cos
2 0
2 θ dθ
= π π 3
+ =
2 4 4 π.
D := {(x, y) ∈ R 2 : (x + 1) 2 + y 2 ≥ 1, (x − 1) 2 + y 2 ≥ 1, x 2 + y 2 ≤ 2}
f(x, y) =
I =
D
|y|
x 2 + y 2
f(x, y) dx dy
|y|
≤ 1
x2 + y2 l’integrale esiste.
L’insieme D è costituito dai punti all’interno del cerchio di raggio √ 2 centrato nell’origine che si trovano al di
fuori dei cerchi centrati in (±1, 0) di raggio 1. Si consiglia al lettore di tracciare un grafico della situazione.
Sfruttando le simmetrie del dominio D e di f è possibile calcolare l’integrale richiesto su D ∩ {x ≥ 0, y ≥ 0} e
poi moltiplicare per 4 il risultato. Calcoliamo l’intersezione di x 2 + y 2 = 2 con (x − 1) 2 + y 2 = 1. Si ottiene
x 2 − (x − 1) 2 = 1 da cui x 2 − x 2 + 2x − 1 − 1 = 0 perciò x = 1, y = ±1. Nel primo quadrante quindi le due
circonferenze si intersecano in (1, 1) Esplicitando rispetto alla x, si ha quindi:
D ∩ {x ≥ 0, y ≥ 0} = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 − (x − 1) 2 ≤ y ≤ 2 − x 2 }
I = 4
= 4
= 4
= 4
1 √ 2−x2 √
0 1−(x−1) 2
1 √ 2−x2 0
1
0
1
0
y
dy dx = 4
x2 + y2 1 √ 2−x2 0
√ 1−(x−1) 2
∂
√ x2 + y2 dy dx
1−(x−1) 2 ∂y
x2 + 2 − x2 − x2 + 1 − (x − 1) 2 dx
√ √
2 − 2x dx = 4√2 3 .
Esercizio 16.7. Calcolare il seguente integrale triplo:
I = dx dy dz,
T
2y
2 x2 dy dx
+ y2 dove T è il solido limitato dalla superficie del paraboloide z = a 2 x 2 + b 2 y 2 e dal piano z = k 2 , k = 0.
Svolgimento. Si ha
T := {(x, y, z) : (ax) 2 + (by) 2 ≤ z ≤ k 2 }
2 2 x
y
= (x, y, z) : √z/a + √z/b ≤ 1, 0 < z ≤ k 2