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48 12. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Si ha
∂xL(x, y, λ) = 1 + 2λx
∂yL(x, y, λ) = 1 + 8λy.
Si deve avere ∂xL(x, y) = ∂yL(x, y) = 0, in particolare si ha λ = 0. Sottraendo membro a membro le due
equazioni, si ricava λ(x − 4y) = 0 e quindi x = 4y. Sostituendo nell’equazione del vincolo si ha 20y 2 = 1
quindi i punti da studiare sono ±(1/ √ 5, 1/(2 √ 5)). Si ha f(2/ √ 5, 1/(2 √ 5)) = √ 5/2 massimo assoluto vincolato
e f(−2/ √ 5, −1/(2 √ 5)) = − √ 5/2 minimo assoluto vincolato.
Si poteva procedere anche nel modo seguente: il vincolo è x 2 +(2y) 2 −1 = 0, per cui in coordinate polari diviene
x = cos θ, 2y = sin θ. La funzione diviene
h(θ) := f
cos θ,
sin θ
sin θ
= cos θ +
2
2 .
Derivando si ha: h ′
(θ) = − sin θ + cos θ/2, la derivata si annulla per θ che soddisfa tan θ = 1/2. Si ha quindi
ξ2 + ζ2 = 1
, quindi 5ζ
ζ = ξ/2
2 = 1, da cui ζ = ±1/ √ 5 = sin θ e ξ = ±2/ √ 5 = cos θ. Pertanto i punti sono
(ξ, 2ζ) = ±(2/ √ 5, 1/(2 √ 5)). La derivata seconda è h ′′ (θ) = − cos θ − sin θ/2 = − cos θ(1 + tan θ/2), quindi
(2/ √ 5, 1/(2 √ 5)) è di massimo e −(2/ √ 5, 1/(2 √ 5)) è di minimo, il che conferma il risultato precedente.
Esercizio 12.5. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x, y) = sin x + sin y sotto la
condizione cos x − cos y + 1 = 0.
Svolgimento. Osserviamo che sia la funzione che il vincolo sono periodici di periodo 2π, pertanto ci
aspettiamo la stessa periodicità anche nel risultato finale. Poniamo g(x, y) = cos x − cos y + 1 e
Si ha
L(x, y, λ) := f(x, y) + λg(x, y) = sin x + sin y + λ(cos x − cos y + 1).
∂xL(x, y, λ) = cos x − λ sin x
∂yL(x, y, λ) = cos y + λ sin y.
Si deve avere ∂xL(x, y) = ∂yL(x, y) = 0, in particolare sin x = 0 e sin y = 0, da cui cot x = cot(−y). Pertanto
x = −y + kπ, k ∈ Z. Sostituendo nel vincolo, si ha cos x − cos(−x + kπ) + 1 = 0 che si riscrive come
cos x − cos(x − kπ) + 1 = 0, ovvero cos x − (−1) k cos x + 1 = 0 e quindi (1 − (−1) k ) cos x = −1. Se k = 2j è
pari questa equazione non ha soluzione. Se k = 2j + 1 è dispari si ha cos x = −1/2 e quindi x1 = 2/3π + 2hπ,
e x2 = 4/3π + 2hπ, h ∈ Z, cui corrispondono y1 = −2/3π + 2hπ + (2j + 1)π = π/3 + 2(j − h)π e y2 =
−4/3π − 2hπ + (2j + 1)π = −1/3π + 2(j − h)π. Allora i punti da studiare sono (m = j − h ∈ Z)
2 π
5
Phm = π + 2hπ, + 2mπ , Qhm = π + 2hπ, −2 π + 2mπ
3 3 3 3
Si ha per ogni h, m ∈ Z che f(Phm) = √ 3/2 + √ 3/2 = √ 3 massimo assoluto vincolato e f(Qhm) = − √ 3/2 −
√ 3/2 = − √ 3 minimo assoluto vincolato.
Esercizio 12.6. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x, y) = 3x 2 + 4y 2 − 6x + 3 sotto
la condizione x 2 + y 2 = 4.
Si ha
Svolgimento. Poniamo g(x, y) = x 2 + y 2 − 4 e
L(x, y, λ) := f(x, y) + λg(x, y) = 3x 2 + 4y 2 − 6x + 3 + λ(x 2 + y 2 − 4).
∂xL(x, y, λ) = 6x − 6 − 2λx
∂yL(x, y, λ) = 8y − 2λy = 2y(4 − λ).
Si deve avere ∂xL(x, y) = ∂yL(x, y) = 0. Dalla seconda equazione si ricava y = 0 oppure λ = 4. Sostituendo nel
vincolo, si ottiene per y = 0, x = ±2. Se invece λ = 4, si ottiene dalla prima equazione x = −3, e sostituendo
nel vincolo si trova 9 + y 2 = 4 che non ha soluzioni reali. Pertanto i punti da studiare sono (2, 0) e (−2, 0). Si
ha f(2, 0) = 3 minimo assoluto e f(−2, 0) = 27 massimo assoluto.
Si poteva procedere anche nel modo seguente: il vincolo g si parametrizza in coordinate polari ponendo x =
2 cos θ e y = 2 sin θ, θ ∈ [0, 2π[. Si ha
h(θ) = f(2 cos θ, 2 sin θ) = 12 cos 2 θ + 16 sin 2 θ − 12 cos θ + 3 = 4 sin 2 θ − 12 cos θ + 15