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64 15. INTEGRALI MULTIPLI
Corollario 15.4 (coordinate sferiche). Sia X = {(ρ, θ, ϕ) ∈ R 2 : ρ > 0, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < π}. Una
funzione f : R 3 → R è integrabile in R 3 se e solo se la funzione
è integrabile in X. In tal caso si ha:
R 3
(ρ, θ, ϕ) ↦→ f(ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin ϕ
f(x, y, z) dx dy dz =
Esercizio 15.5. Calcolare l’integrale doppio
X
f(ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin ϕ
I =
D
xy dx dy
esteso al dominio D delimitato dalle due parabole di equazioni y 2 = 4x, x 2 = 4y.
Svolgimento. Calcoliamo l’itersezione delle due curve: elevando la prima equazione al quadrato e sostituendo
la seconda si ha y 4 = 64y da cui y = 0 e y = 4, quindi le due curve si intersecano in (0, 0) e (4, 4).
Dalla prima equazione si ricava che x ≥ 0 e y = 2 ± √ x Si ha che y = 2 ± √ x è al di sopra della seconda curva
y = x 2 /4 per 0 < x < 4, y = x 2 /4 perché in tale intervallo (2 ± √ x) 2 = 4x > (x 2 /4) 2 = x 4 /16.
Si ha allora
da cui:
I =
4
0
3 2x
=
3
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, x 2 /4 ≤ y ≤ 2 √ x}
√
2 x
xy dy dx =
x 2 /4
x=4
x6
− =
192 x=0
64
3 .
Esercizio 15.6. Calcolare l’integrale doppio
esteso al dominio D = B((1, 0), 1)
I =
4
0
D
xy 2
2
y=2 √ x
y=x 2 /4
1 − y 2 dx dy
=
4
0
2x 2 − x5
dx
32
Svolgimento. D è il dominio delimitato da x = 1 − 1 − y 2 e x = 1 + 1 − y 2 per −1 < y < 1
I =
1
√
1+ 1−y2 −1
1− √ 1−y 2
Esercizio 15.7. Calcolare l’integrale doppio
vertici A(0, 4), B(1, 1), C(4, 0).
1 − y 2 dx dy = 4
D
1
0
(1 − y 2 ) dy = 8
3 .
xy dx dy esteso al dominio D dove D è il triangolo di
Svolgimento. Calcoliamo le rette congiungenti i tre vertici. Ricordo che per trovare la retta congiungente
P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) si utilizza la formula:
(y − y1)(x1 − x2) = (y1 − y2)(x − x1)
Sostituendo x = x1, y = y1 si ottiene un’identità, quindi tale retta passa per P1. Sostituendo x = x2 e y = y2
si ottiene un’altra identità che prova il passaggio per P2.
Le tre rette sono: y = 4 − x che congiunge A e C; y = 4 − 3x che congiunge A a B; y = (4 − x)/3 che coingiunge