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27. SERIE DI FOURIER E METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI 143
Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali: da X(0) = 0 si ottiene d1 = 0 e da X(π) = 0 si ottiene
d2 sin πω = 0. Poiché si cercano soluzioni non identicamente nulle, si ottiene d2 = 0 e quindi ω = n ∈ N \ {0}.
In definitiva, si ottiene che λ = −n 2 al variare di n ∈ N \ {0}, e le soluzioni di:
¨Xn(x) + 2 ˙ Xn(x) + (1 − n 2 )Xn(x) = 0
Xn(0) = X(π) = 0.
sono tutte della forma Xn(x) = dne−x sin nx al variare di dn ∈ R. L’equazione ˙ Un(t) = −n2U(t) ammette come
soluzione Un(t) = Un(0)e−n2t . Poniamo un(t, x) = Un(t)Xn(x). Per ogni n, essa è una soluzione dell’equazione
data soddisfacente un(0, t) = un(π, t) = 0 per ogni t > 0. Posto bn = Un(0)dn ∈ R si ottiene per ogni
n ∈ N \ {0} un(t, x) = bne−n2t −x e sin nx. Cerchiamo di soddisfare il dato iniziale con una serie di tali funzioni.
Cerchiamo i coefficienti bn in modo che
x(π − x) =
∞
un(x, 0) = u(x, 0) ovvero
n=1
∞
n=1
bne −x sin nx = x(π − x)e −x , quindi
∞
bn sin nx. Se ne deduce che i coefficienti bn sono i coefficienti di Fourier della funzione ottenuta
n=1
prolungando x(π − x) a tutto [−π, π] per disparità, e poi a tutto R per 2π-periodicità.
π
π
bn = 2
x(π − x) sin nx dx =
π 0
2
(−x
π 0
2 + πx) sin nx dx
= 2
cos nx
−
π n (−x2 π + πx) +
0
2
π
cos nx(−2x + π) dx =
πn 0
2
π
cos nx(−2x + π) dx
πn 0
= 2
π sin nx
(−2x + π) +
πn n 0
4
πn2 π
sin nx dx =
0
4
πn2 π
sin nx dx
0
= 4
πn2
cos nx
π − =
n 0
4
πn3 (1 − (−1)n )
Quindi b2k = 0 e b2k+1 = 8/(π(2k + 1) 3 ) per k ∈ N. Si ha allora:
u(t, x) = 8
∞ 1
π (2k + 1) 3 e−(2k+1)2 t−x
sin (2k + 1)x .
k=0
Studiamo la convergenza della serie così ottenuta. Per ogni t ≥ 0 e x ∈ [0, π]
1
(2k
+ 1) 3 e−(2k+1)2 t−x
sin (2k + 1)x
1
≤
(2k + 1) 3
quindi
∞
sup
t>0
k=0
x∈[0,π]
1
(2k
+ 1) 3 e−(2k+1)2 t−x
sin (2k + 1)x ∞
1
≤
< +∞,
(2k + 1) 3
infatti il termine generale della serie di sinistra (2k + 1) −3 < 2 −3 k −3 < 1/(8k 2 ), termine generale di una serie
convergente. Pertanto la serie che definisce u(t, x) converge totalmente, quindi uniformemente.
k=0