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CAPITOLO 30
Lezione del giorno lunedì 25 gennaio 2010 (2 ore)
Esercizi ricapitolativi - continuazione
Esercizio 30.1. Si consideri in R 3 la superficie S di equazioni parametriche:
ϕ(θ, y) = ( y 2 + 1 cos θ, y, y 2 + 1 sin θ), θ ∈ [0, 2π], |y| < 1,
e il campo vettoriale F : R 3 → R 3 definito da F (x, y, z) = (x 2 , y/2, x).
(1) Si calcolino divergenza e rotore di F . Si dica se il campo F è conservativo.
(2) Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la circonferenza di raggio √ 2,
centrata in (0, 1, 0) e appartenente al piano y = 1 parametrizzata da
γ(θ) = ( √ 2 cos θ, 1, √ 2 sin θ), θ ∈ [0, 2π].
(3) Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l’elemento di superficie 2-dimensionale relativo alla
parametrizzazione ϕ.
(4) Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto (1, 0, 0).
(5) Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l’orientamento indotto dalla
parametrizzazione.
Svolgimento. Poniamo ϕ(θ, y) = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e F = (F1, F2, F3).
(1) Si ha
div F (x, y, z) = ∂xF1 + ∂yF2 + ∂zF3 = 2x + 1/2,
rot ⎛
F = det ⎝ e1 ∂x x2 ⎞
e2 ∂y y/2 ⎠ = (0, −1, 0).
e3 ∂z x
Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo.
(2) Dal teorema di Stokes, la circuitazione è il flusso del rotore attraverso la superficie D = {(x, 1, z) :
x2 + z2 ≤ 2} con normale (0, −1, 0), infatti la normale (0, −1, 0) su D induce per la regola della mano
destra l’orientamento richiesto su γ. Il flusso è:
rot
F · ˆn dσ = dσ = Area(D) = 2π.
Verifichiamo il risultato:
F dγ =
γ
=
D
2π
0
2π
0
D
F ( √ 2 cos θ, 1, √ 2 sin θ) · (− √ 2 sin θ, 0, √ 2 cos θ) dθ
− 2 3/2 cos 2 θ sin θ + 2 cos 2
θ dθ = 2π
Quindi la circuitazione non è nulla, il che conferma come F non sia conservativo.
(3) La matrice Jacobiana è
⎛
−
⎜
Jac ϕ(θ, y) = ⎜
⎝
y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎟
0 1 ⎟
⎠
y2 y sin θ
+ 1 cos θ
.
√ y 2 +1
Per la formula di Binet, l’elemento d’area è:
ω2 = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3
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