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CAPITOLO 32
Miscellanea di Esercizi supplementari
Esercizio 32.1 (Integrali dipendenti da parametro).
(1) Studiare le seguenti funzioni (dominio, continuità, derivabilità)
2π
xt sin t
(a) F (x) = e dt, x ∈ R
0 t
x
log(1 + xt)
(b) G(x) =
0 1 + t2 dt, x ∈ R
(2) Calcolare le derivate parziali prime della funzione
F (x, y) =
x
y
e −(x−t)2
dt
(3) Dimostrare, mediante derivazione sotto il segno di integrale, che la funzione:
F (x) =
2π
0
e x sin y dy
ha un minimo relativo in x = 0.
(4) Mediante derivazione rispetto a y, calcolare l’integrale
F (y) =
y
0
log(1 + xy)
1 + x 2
(5) Verificare, mediante derivazione sotto il segno di integrale, che la funzione
F (x) =
x
0
dx
e −xt2
dt − x
ha un massimo relativo per x = 0.
(6) Applicando la regola di derivazione sotto il segno di integrale, dimostrare che la funzione
è costante per x > 0
F (x) =
π
x
0
sin(xy)
y
Esercizio 32.2. Si determini il dominio della seguente funzione f : R 2 → R:
dy
f(x, y) = arcsin(xy).
Si studi continuità e differeziabilità di f e si scriva il differenziale di f nei punti laddove esso esiste.
Esercizio 32.3 (funzione implicita, studio qualitativo). Studiare le curve implicitamente definite da:
(1) (x 2 + y 2 + 12ax + 9a 2 ) 2 = 4a(2x + 3a) 3 , al variare di a > 0.
(2) y 4 − x 4 + ay 2 + bx 2 = 0 al variare di a, b ∈ R
Esercizio 32.4 (massimi e minimi liberi e vincolati).
(1) Si mostri che la seguente funzione:
f(x, y) = log
arctan e (x2 +y 4 ) 3
+ 1
ha un minimo relativo in (0, 0).
(2) Mostrare che la funzione f(x, y) = 1/x + 1/y ammette estremi assoluti sull’insieme Ea = {(x, y) ∈
R 2 : 1/x 2 + 1/y 2 = 1/a 2 , x = 0, y = 0} con a > 0.
(3) Determinare gli estremi della funzione f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 sotto la condizione x + y + z + 1 = 0.
(4) Si determinino gli estremi di f(x, y, z) = (x + y + z) 2 sotto la condizione x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1.
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