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72 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINUAZIONE
Si ha:
Le coordinate del baricentro sono:
π/4 a cos(2θ)/ cos θ
x dx dy =
s
C
−π/4 0
2 cos θ ds dθ = a3
π/4
cos
3 −π/4
3 (2θ)
cos2 θ dθ
= a3
π/4
2 cos θ −
3 −π/4
1
3 cos θ dθ
cos θ
= a3
π/4
8 cos
3 −π/4
4 θ − 12 cos 2 θ − 1
cos2
+ 6 dθ
θ
= a3
π/4
2(cos 2θ + 1)
3 −π/4
2
dθ − 3(2 + π) − 2 + 3π
= a3
π/4
2(cos
3 −π/4
2
2θ + 2 cos 2θ + 1) dθ − 3(2 + π) − 2 + 3π
= a3
π/4
(cos 4θ + 1 + 4 cos 2θ) dθ + π − 8
3 −π/4
= a3
π/4
(cos 4θ) dθ +
3 −π/4
3
π − 4
2
= a3
3
π − 4 =
3 2 a3
(3π − 8)
6
xB =
C
C
x dx dy
dx dy
= a 3π − 8
3 4 − π , yB = 0.
Esercizio 16.9. Calcolare l’area della superficie generata dalla rotazione attorno all’asse x della curva
y = sin x, 0 ≤ x ≤ π
Svolgimento. L’area è data da:
A = 2π
π
0
sin x 1 + cos 2 x dx = 4π
π/2
= 2π( √ 2 + arc sinh(1)) = 2π( √ 2 + log(1 + √ 2)).
0
sin x 1 + cos 2 x dx = 4π
Esercizio 16.10. Calcolare l’area della porzione S di superficie:
z = 2
3 · (x3/2 + y 3/2 )
che si proietta nel triangolo D determinato dalle rette x = 0, y = 0 e x + y = 3.
Svolgimento. Si ha ∂xz(x, y) = √ x e ∂yz(x, y) = √ y, da cui
A =
3 4
1 + x + y dx dy =
√ 2
t dt dx =
3
D
= 16 − 2
3
4
1
0
1+x
s 3/2 ds = 16 − 2 62 116
=
3 5 15 .
3
0
1
0
1 + t 2 dt
(8 − (1 + x) 3/2 ) ds