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2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R n
Definizione 2.22. Siano x, y ∈ R n . La distanza ℓ ∞ di x = (x1, ..., xn) da y = (y1, ..., yn) è data da:
dℓ ∞(x, y) := x − yℓ ∞ = max{|xi − yi|}.
Valgono ancora dℓ ∞(x, y) = dℓ ∞(y, x), dℓ ∞(x, y) ≥ 0 e se dℓ ∞(x, y) = 0 allora x = y, inoltre se x, y, z ∈ Rn si ha
dℓ ∞(x, y) ≤ dℓ ∞(x, z) + dℓ ∞(z, y). Definiamo per ogni a ∈ Rn , r > 0:
(1) la palla ℓ ∞ -aperta di raggio r centrata in a:
Bℓ ∞(a, r[:= {x ∈ Rn : x − aℓ ∞ < r} =]x1 − r, x1 + r[× · · · ×]xn − r, xn + r[;
(2) la palla ℓ ∞ -chiusa di raggio r centrata in a:
Bℓ ∞(a, r] := {x ∈ Rn : x − aℓ ∞ ≤ r} = [x1 − r, x1 + r] × · · · × [xn − r, xn + r].
Se disegnamo le palle di questa topologia, ci accorgiamo che hanno l’aspetto di ipercubi (quadrati se n = 2,
cubi se n = 3) di spigolo 2r centrati in x. Esattamente come prima, si prova che l’insieme delle palle ℓ ∞ -aperte
è base per una topologia su R n .
Ci si può chiedere quale sia il legame tra la topologia indotta dalla distanza euclidea e quella indotta dalla
distanza ℓ ∞ :
Teorema 2.23. La distanza euclidea e quella ℓ ∞ su R n sono topogicamente equivalenti, ovvero inducono
topologie equivalenti su R n .
Dimostrazione. Ciascuna palla aperta contiene un cubo aperto ed è contenuta in un altro cubo aperto.
Pertanto dato un aperto euclideo A e un suo punto x, per definizione esiste una palla euclidea aperta centrata in
x e contenuta in A, ma tale palla contiene un cubo aperto centrato in x che, pertanto, risulta essere contenuto
in A. Pertanto dato un punto x ∈ A, esiste un cubo aperto centrato in x contenuto in A, quindi A è intorno
nella topologia indotta da ℓ ∞ . Il viceversa è analogo. In verità si può provare che gli elementi di un’ampia
classe di distanze possibili su R n inducono la stessa topologia (tutte le distanze provenienti da una norma).
Una conseguenza di tale fatto, in realtà equivalente ad esso, è la seguente:
Proposizione 2.24. Siano {xk}k∈N successione di R n e x = (x (1) , ..., x (n) ) ∈ R n . Allora si ha
lim
k→+∞ xk − xℓ∞ = 0 se e solo se lim
k→+∞ xk − x = 0
e ciò è equivalente a dire che per ogni j = 1, ..., n si ha lim
k→+∞ x(j)
k = x(j) . Pertanto una successione in R n
converge se e solo se ciascuna delle componenti degli elementi di essa converge come successione in R.
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