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32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI 171
Studiamo i massimi e i minimi di f. Si ha f(x, y) > 0 e il limite di f per |(x, y)| → ∞ con (x, y) ∈ C è nullo.
Questo esclude la presenza di minimi assoluti. Si ha
∂xf(x, y) = 2xe −y2
∂yf(x, y) = 2ye −y2
(1 − x 2 − y 2 )
Si ha ∂xf(x, y) = ∂yf(x, y) = 0 per (x, y) = (0, 0) /∈ C, (x, y) = (0, ±1). Pertanto i massimi e i minimi vincolati
si trovano eventualmente sulla frontiera di C. La frontiera di C è parametrizzata da:
γ1(θ) = (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, π]
γ2(t) = (t, t − 1), t > 1
γ3(t) = (−t, t − 1), t > 1
Si ha f(γ1(θ)) = e− sin2 θ , i cui massimi sono per θ = 0, π e il minimo è per θ = π/2, da cui f(±1, 0) = 1 e
f(0, 1) = 1/e. Si ha f(0, y) = y2e−y2 è decrescente per y ≥ 1, quindi (0, 1) non è né di massimo, né di minimo
per f su C.
Si ha f(γ2(t)) = f(γ3(t)) = (t2 + (t − 1) 2 )e−(t−1)2, la cui derivata è:
d
dt f ◦ γ2(t) = d
dt f ◦ γ3(t) = −2te −(t−1)2
(2t 2 − 4t + 1)
che si annulla per t = 0 (ma γ2(0), γ3(0) /∈ C), per t = t1 := (2 − √ 2)/2 < 1, (ma γ2(t1), γ3(t1) /∈ C) e per
t = t2 := (2+ √ 2)/2. Le funzioni f ◦γ2(t) e f ◦γ3(t) sono crescenti in un intorno destro di 1, pertanto (0, ±1) non
è né di massimo, né di minimo per f su C. Si ha γ2(t2) = ((2 + √ 2)/2, √ 2/2) e γ3(t2) = (−(2 + √ 2)/2, √ 2/2).
Proviamo che tali punti sono di massimo relativo e assoluto per la funzione f e il valore del massimo è M :=
f(±(2 + √ 2)/2, √ 2/2) = (2 + √ 2)/ √ e: infatti dato (x, y) ∈ C si ha |x| ≤ y − 1 da cui:
f(x, y) ≤ ((y − 1) 4 + y 2 )e −y2
,
pertanto i punti di massimo sul bordo sono punti di massimo in C.
dove
Esercizio 32.9. Si calcoli il limite:
Iα =
Cα
Svolgimento. Si ha:
α x
Iα =
1
= α4
4
Iα 1
Pertanto lim =
α→+∞ α4 4 .
Iα
lim
α→+∞
,
α4 x 2
y 2 dx dy, Cα :=
1/x
− α2
2
x2
dy dx =
y2 1 1
− +
4 2 .
α
1
x 2
x − 1
dx =
x
,
(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x ≤ α, 1
≤ y ≤ x .
x
α
Esercizio 32.10. Si consideri la funzione F : R 2 → R di classe C 1 :
F (x, y) = y 3 − 2xy 2 + cos(xy) − 2.
1
(x 3 4 x
− x) dx =
4
α
x2
−
2 1
Si mostri che la relazione F (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione ϕ :] − δ, δ[→]1 − σ, 1 + σ[ in un
intorno del punto (0, 1). Si calcoli la derivata ϕ ′ (0) e si dica infine se ϕ è estendibile a tutto R.
Svolgimento. Verifichiamo le ipotesi del Teorema di Dini della Funzione Implicita. Si ha F (0, 1) = 0.
Calcoliamo:
∂yF (x, y) = 3y 2 − 4xy − x sin(xy).
Si ha ∂yF (0, 1) = 3 = 0, quindi il Teorema di Dini assicura l’esistenza di una funzione ϕ che soddisfi le condizioni
dell’enunciato. Calcoliamo ora:
∂xF (x, y) = 2y 2 − y sin(xy).
La derivata richiesta è data da:
ϕ ′ (0) = − ∂xF (0, 1)
= −2
∂yF (0, 1) 3 .