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CAPITOLO 25
Lezione del giorno giovedì 14 gennaio 2010 (2 ore)
Equazioni riconducibili ad equazioni lineari, sistemi lineari a
coefficienti costanti
Esercizio 25.1. Risolvere le seguenti equazioni lineari a coefficienti costanti:
(1) y ′′ + y = tan x.
(2) y ′′ + y = 1
sin x .
(3) y ′′ + 3y ′ + 2y = √ 1 + e x
(4) y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − y = ex
x .
Svolgimento.
(1) L’omogenea associata ha soluzione φ(x, c1, c2) = c1 cos x + c2 sin x. Applichiamo il metodo della
variazione delle costanti, cercando quindi soluzioni particolare del tipo
Deriviamo ottenendo
y(x) = c1(x) cos x + c2(x) sin x.
y ′ (x) = c ′ 1(x) cos x + c ′ 2(x) sin x − c1(x) sin x + c2(x) cos x.
Imponiamo quindi c ′ 1(x) cos x + c ′ 2(x) sin x = 0. Si ha allora
e derivando ulteriormente
y ′ (x) = −c1(x) sin x + c2(x) cos x,
y ′′ (x) = −c ′ 1(x) sin x + c ′ 2(x) cos x − c1(x) cos x − c2(x) sin x.
Sostituendo nell’equazione di partenza si ottiene:
−c ′ 1(x) sin x + c ′ 2(x) cos x − c1(x) cos x − c2(x) sin x + c1(x) cos x + c2(x) sin x = tan x.
da cui −c ′ 1(x) sin x + c ′ 2(x) cos x = tan x. Si ottiene quindi il seguente sistema nelle incognite c ′ 1 e c ′ 2:
c ′ 1(x) cos x + c ′ 2(x) sin x = 0,
−c ′ 1(x) sin x + c ′ 2(x) cos x = tan x, ⇐⇒
cos x sin x
− sin x cos x
c ′ 1(x)
c ′ 2(x)
=
0
tan(x)
La soluzione del sistema porge c ′ 1(x) = − sin x tan x e c ′ 2(x) = sin x, da cui c2(x) = − cos x. Calcoliamo
c1(x) utilizzando le formule1 che esprimono cos x in funzione di t = tan(x/2):
2 2
sin x 1 − cos x
1
c1(x) = − dx = −
dx = sin x −
cos x cos x
cos x
2dt
1 1
= sin x − = sin x + + dt = sin x + log
1 + t
1 − t2 1 − t 1 + t
1
− t
= sin x − log
cos(x/2) + sin(x/2)
cos(x/2)
− sin(x/2)
Quindi una soluzione particolare è:
¯y(x) = cos x sin x − log
cos(x/2) + sin(x/2)
cos(x/2)
− sin(x/2) cos x − cos x sin x.
Si ottiene allora la soluzione generale
y(x) = c1 cos x + c2 sin x − log
cos(x/2) + sin(x/2)
cos(x/2)
− sin(x/2) cos(x).
1 Tali formule porgono t = tan(x/2), cos x = 1−t 2
1+t 2 , sin x = 2t
1+t 2 , dx = 2dt
1+t 2
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