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CAPITOLO 22
Lezione del giorno giovedì 17 dicembre 2009 (2 ore)
Forme differenziali
Cominciamo con alcuni richiami di teoria.
Definizione 22.1. Sia D aperto nell’ R-spazio X di dimensione finita n. Una forma differenziale reale di
grado 1 (o 1-forma) su X (di classe C ℓ ) è una funzione (di classe C ℓ ) ω : D → X ∗ da D nel duale X ∗ di X. Se
su X è stata scelta una base, indicata con {dxi : i = 1...n} la base duale, ogni 1-forma si scrive in modo unico:
ω(x) = ω1(x) dx1 + ... + ωn(x) dxn
dove i coefficienti ωj(x) ∈ C ℓ (D, R) esprimono ω nella base data.
Definizione 22.2. Una 1-forma ω su D si dice esatta su D se esiste f : D → R tale che per ogni x ∈ D si
abbia df(x) = ω(x). Ogni tale f si dice primitiva di ω.
Proposizione 22.3. Se ω è esatta e D è aperto connesso, allora due primitive di ω differiscono per una
costante.
Definizione 22.4. Una 1-forma differenziale con coefficienti differenziabili si dice chiusa se vale:
per ogni x ∈ D, i, j = 1...n
∂kωj(x) = ∂jωk(x)
Teorema 22.5. Condizione necessaria affinchè una 1-forma differenziale con coefficienti differenziabili sia
esatta è che sia chiusa.
Definizione 22.6. Una 1-forma ω su D si dice localmente esatta su D se per ogni x ∈ D esiste un intorno
aperto U di x in D tale che ω |U sia esatta.
Teorema 22.7. Sia D aperto di R n , sia ω ∈ C 1 (D, (R n ) ∗ ) forma di classa C 1 . Essa è chiusa se e solo se
è localmente esatta.
Definizione 22.8. Sia X spazio di dimensione finita su R, D aperto di X. Siano a, b ∈ R. Un cammino in
D è una funzione α : [a, b] → D continua e C 1 a tratti. Un cammino si dice circuito se gli estremi α(a) e α(b)
coincidono.
Definizione 22.9. Sia ω : D → X∗ una 1-forma di classe C0 e sia α : [a, b] → D un cammino. L’integrale
di ω su α è:
ω := ω(α(t))α
α [a,b]
′ (t) dt
in coordinate:
n
ω := ωj(α(t))α ′ j(t) dt
α
Teorema 22.10. Sia ω : D → X∗ una 1-forma di classe C0 . Sono equivalenti:
(1) ω è esatta in D
(2) se α, β sono cammini in D con la stessa origine e lo stesso estremo, allora
(3) per ogni circuito γ di D si ha
ω = 0
γ
j=1
[a,b]
α
ω =
β ω
Definizione 22.11. Siano α, β : [a, b] → D due circuiti. Un’omotopia da α a β in D è una mappa continua
h : [a, b] × [0, 1] → D tale che
(1) h(t, 0) = α(t), h(t, 1) = β(t) per ogni t ∈ [a, b];
(2) h(a, λ) = h(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1]
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