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C 1 . Le derivate parziali sono:
14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA E INVERSA - CONTINUAZIONE 59
∂xz(x, y) = − ∂xf(x, y, z(x, y)) 2xez(x,y)+x2 + α
= −
∂zf(x, y, z(x, y)) ez(x,y)+x2 − 2z(x, y)
∂yz(x, y) = − ∂yf(x, y, z(x, y))
2y
= −
∂zf(x, y, z(x, y)) ez(x,y)+x2 − 2z(x, y)
Nella fattispecie, si ha ∂xz(0, 0) = α, ∂yz(0, 0) = 0. Affinché (0, 0) sia estremale, deve essere un punto critico,
perché z ∈ C 1 , quindi il differenziale deve annullarsi, e pertanto α = 0.
Classifichiamo l’estremale con questa scelta di α. Calcoliamo le derivate seconde di z(x, y) in (0, 0):
∂xxz(x, y) = − (∂xxf(x, y, z(x, y)) + ∂zf(x, y, z(x, y))∂xz(x, y))∂zf(x, y, z(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
+
+ ∂xf(x, y, z(x, y))(∂zxf(x, y, z(x, y)) + ∂zzf(x, y, z(x, y))∂xz(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
∂yyz(x, y) = − (∂yyf(x, y, z(x, y)) + ∂zf(x, y, z(x, y))∂yz(x, y))∂zf(x, y, z(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
+
+ ∂yf(x, y, z(x, y))(∂zyf(x, y, z(x, y)) + ∂zzf(x, y, z(x, y))∂yz(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
∂xyz(x, y) = − (∂xyf(x, y, z(x, y)) + ∂zf(x, y, z(x, y))∂yz(x, y))∂zf(x, y, z(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
+
+ ∂xf(x, y, z(x, y))(∂zyf(x, y, z(x, y)) + ∂zzf(x, y, z(x, y))∂yz(x, y))
(∂zf(x, y, z(x, y))) 2
Sarà quindi utile il calcolo delle derivate seconde di f:
∂xxf(x, y, z) = 2e z+x2
∂yyf(x, y, z) = 2, ∂yyf(0, 0, 0) = 2
+ 4x 2 e z+x2
, ∂xxf(0, 0, 0) = 2
∂zzf(x, y, z) = e z+x2
− 2, ∂zzf(0, 0, 0) = −1
∂xyf(x, y, z) = ∂zyf(x, y, z) = 0, ∂xyf(0, 0, 0) = ∂zyf(0, 0, 0) = 0,
∂xzf(x, y, z) = 2xe z+x2
, ∂xzf(0, 0, 0) = 0.
Sostituendo, si ha allora (ricordando che ∂xz(0, 0) = ∂yz(0, 0) = 0 e ∂xf(0, 0, 0) = ∂yf(0, 0, 0) = 0, ∂zf(0, 0, 0) =
1):
∂xxz(0, 0) = − (∂xxf(0, 0, 0) + ∂zf(0, 0, 0)∂xz(0, 0))∂zf(0, 0, 0)
(∂zf(0, 0, 0)) 2
+
+ ∂xf(0, 0, 0)(∂zxf(0, 0, 0) + ∂zzf(0, 0, 0)∂xz(x, y))
(∂zf(0, 0, 0)) 2
∂yyz(0, 0) = − (∂yyf(0, 0, 0) + ∂zf(0, 0, 0)∂yz(0, 0))∂zf(0, 0, 0)
(∂zf(0, 0, 0)) 2
+
+ ∂yf(0, 0, 0)(∂zyf(0, 0, 0) + ∂zzf(0, 0, 0)∂yz(x, y))
(∂zf(0, 0, 0)) 2
∂xyz(0, 0) = − (∂xyf(0, 0, 0) + ∂zf(0, 0, 0)∂yz(0, 0))∂zf(0, 0, 0)
(∂zf(0, 0, 0)) 2
+
Quindi l’hessiano di z in (0, 0) è semplicemente
e pertanto (0, 0) è un massimo per z(x, y).
+ ∂xf(0, 0, 0)(∂zyf(0, 0, 0) + ∂zzf(0, 0, 0)∂yz(x, y))
(∂zf(0, 0, 0)) 2
H(z)(0, 0) =
−2 0
0 −2
Esercizio 14.4. Sia Γ l’insieme dei punti (x, y) ∈ R 2 tali che
y 3 − xy 2 + x 2 y = x − x 3
= −2.
= −2
= 0