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226 I. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE
Relazione fondamentale per z ∈ C
e z ∞
= Re(z)(cos(Im(z)) + i sin(Im(z))) =
Funzioni goniometriche Funzioni iperboliche
cos z = eiz + e−iz = cosh iz cosh z =
2
ez + e−z = cos iz
2
sin z = eiz − e −iz
2i
tan z =
cot z =
n=0
z n
n!
= −i sinh iz sinh z = ez − e−z = −i sin iz
2
sin z
cos z = eiz − e−iz eiz + e−iz = e2iz − 1
e2iz sinh z
= −i tanh(iz) tanh z =
+ 1 cosh z = ez − e−z ez + e−z = e2z − 1
e2z = −i tan(iz)
+ 1
cos z
sin z = eiz + e−iz eiz − e−iz = e2iz + 1
e2iz cosh z
= i coth(iz) coth z =
− 1 sinh z = ez + e−z ez − e−z = e2z + 1
e2z = i cot(iz)
− 1
cos 2 z + sin 2 z = 1 cosh 2 z − sinh 2 z = 1
cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2
sin(z1 ± z2) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2
tan(z1 ± z2) = tan z1 ± tan z2
1 ∓ tan z1 tan z2
cot(z1 ± z2) = cot z1 cot z2 ∓ 1
cot z2 ± cot z1
cosh(z1 ± z2) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z2
sinh(z1 ± z2) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z2
tanh(z1 ± z2) = tanh z1 ± tanh z2
1 ± tanh z1 tanh z2
coth(z1 ± z2) = coth z1 coth z2 ± 1
coth z2 ± coth z1
cos(2z) = cos 2 z − sin 2 z = 2 cos 2 z − 1 = 1 − 2 sin 2 z cosh(2z) = cosh 2 z + sinh 2 z = 2 cosh 2 z − 1 = 1 + 2 sinh 2 z
sin(2z) = 2 sin z cos z sinh(2z) = 2 sinh z cosh z
tan(2z) =
2 tan z
1 − tan2 (z)
cot(2z) = cot2 (z) − 1
2 cot z
2 tanh z
tanh(2z) =
1 + tanh2 (z)
coth(2z) = coth2 (z) + 1
2 coth z