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22 6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFORME La funzione Fn è decrescente su [ρn, +∞[ perché ρn è il suo unico punto di massimo assoluto e relativo. Per n sufficientemente grande, si ha ρn < ¯ρ, quindi la funzione Fn è decrescente in particolare su [¯ρ, +∞[, e quindi Fn(¯ρ) ≥ Fn(ρ) per ρ ≥ ¯ρ. Ma allora: sup |fn(x, y) − f(x, y)| = (x,y)∈R\B((0,0),¯ρ) √ 2 2 sup ρ≥¯ρ n√2ρ 1 + n2nρ2 = √ 2F (¯ρ) = √ 2 2 n ¯ρ 1 + n2n ¯ρ 2 e il termine di destra tende a zero (si vede direttamente oppure ricordando che esso è |fn(¯ρ cos θ1, ¯ρ sin θ1)|, e tende a zero per la convergenza puntuale. Quindi si ha convergenza uniforme su ogni chiuso di R non contenente l’origine. Esercizio 6.5. Si studi la convergenza puntuale ed uniforme delle seguenti successioni di funzioni: (1) fn(x) = nxe −n2 x 2 , fn : R → R. (2) fn(x) = nx 1 + n 2 x 2 , fn : R → R. (3) fn(x) = nx 1 + nx , fn : [0, 1] → R. (4) fn(x) = (x 2 − x) n , fn : [0, 1] → R. Svolgimento. (1) fissato x ∈ R, si ha che |fn(x)| tende a zero per n → ∞, quindi si ha convergenza puntuale alla funzione nulla f(x) = 0 su tutto R. Se fn convergesse uniformemente, il suo limite uniforme dovrebbe coincidere con il limite puntuale e pertanto essere la funzione identicamente nulla. Calcoliamo f ′ n(x) = ne−n 2 x 2 (1 − 2n 2 x 2 ), tale derivata si annulla per x + n = 1/n √ 2 e x − n = −1/n √ 2. sup x∈R |fn(x) − f(x)| = sup |fn(x)| ≥ |f(x x∈R ± n )| = 1 √ e 2 −2 . Il membro di destra non tende a zero per n → +∞, quindi non c’è convergenza uniforme su tutto R 2 . L’insieme dei punti stazionari di fn(x) ammette 0 come punto di accumulazione. Cerchiamo di vedere se si ha convergenza uniforme nel complementare di una palla centrata in 0, ovvero su un insieme {x : |x| ≥ ε} per ε > 0. Osservando che |fn(x)| = |fn(−x)|, si ha: sup |fn(x) − f(x)| = sup |fn(x)|. |x|≥ε |x|≥ε Per n sufficientemente grande, si ha x + n , x − n ∈]−ε, ε[, e quindi |f(ε)| > |f(x)| per ogni |x| ≥ ε (il lettore è caldamente invitato a fare un disegno per chiarirsi le idee: la funzione |F | assume i suoi massimi in x + n , x − n , quindi è crescente in ] − ∞, x − n [ e decrescente in ]x + n , +∞[. Si ha allora: sup |fn(x) − f(x)| = |fn(ε)|, |x|≥ε e l’ultimo termine tende a 0 per convergenza puntuale, quindi si ha convergenza uniforme in ogni chiuso di R non contenente l’origine. (2) Si ha che fn(0) = 0 e che se x = 0 allora |fn(x)| tende a zero per n → ∞, quindi si ha convergenza puntuale alla funzione nulla f(x) = 0 su tutto R 2 . Derivando le fn, e ponendo tali derivate uguali a zero si ottengono due punti stazionari x + n = 1/n e x − n = −1/2. Si ha che |fn(x ± n ) − f(x)| = 1/2, in particolare è non nullo, quindi non c’è convergenza uniforme. Le successioni di punti stazionari hanno 0 come punto di accumulazione. Si ha con i medesimi ragionamenti dell’esercizio precedente che vi è convergenza puntuale in ogni chiuso non contenente 0. (3) Si ha fn(0) = 0 e per x = 0, fn(x) tende a 1 per n → +∞. Quindi le funzioni continue fn sul compatto [0, 1] convergono puntualmente alla funzione discontinua f definita da f(0) = 0 e f(x) = 1 se x ∈]0, 1]. Ciò esclude che vi possa essere convergenza uniforme su [0, 1]: in tal caso f dovrebbe essere continua. Proviamo che si ha convergenza uniforme in ogni insieme del tipo [ε, 1] con ε > 0. Infatti si ha: sup [ε,1] |fn(x) − f(x)| = sup [ε,1] |fn(x) − 1| = sup [ε,1] 1 | | = 1 + nx 1 1 + nε
6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFORME 23 che tende a 0 per n → +∞. (4) Si ha x 2 − x ≤ 1/2 per ogni x ∈ [0, 1], quindi |fn(x)| ≤ 1/2 n → 0 per ogni x ∈ [0, 1] e quindi di ha convergenza puntuale ed uniforme alla funzione nulla.
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