pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

58 14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA E INVERSA - CONTINUAZIONE
1.5
1.0
0.5
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
Figura 2. La curva x 4 − 4xy + y 4 = 0 e il quadrato con lati paralleli agli assi in cui è inscritta.
Studiamo la funzione g(s) = 4s 3 /(1 + s 4 ), s > 0. Si ottiene
g ′ (s) = 4 3s2 (1 + s 4 ) − 4s 6
(1 + s 4 ) 2
= 4s2 (3 − s4 )
(1 + s4 .
) 2
La derivata è nulla per ovvero s = 4√ 3, inoltre è negativa per valori superiori ad esso e positiva per valori
inferiori, quindi si tratta di un massimo. Poiché la funzione tan :]0, π/2[→]0, +∞[ è strettamente crescente, e
f1 = g ◦ tan, si ottiene che θm = arctan 4√ 3 è l’unico massimo per f1 in [0, π/2]. Determiniamo cos θm e sin θm
sapendo che tan θm = 4√ 3, 0 < θm < π:
cos 2 θm + sin 2 θm = 1
sin θm = 4√ 3 cos θm
Sostituendo e risolvendo il sistema si ottiene cos θm = (1 + √ 3) −1/2 e sin θm = 4√ 3 (1 + √ 3) −1/2 . Il valore di f1
in tale punto di massimo è pari al valore di g nel suo massimo 3√
4 ossia ymax = g( 4√ 3) = 33/8 . Il valore x∗ corrispondente a ymax è
x ∗
4 cos
= ρ(θm) cos θm =
3
θm sin θm 4 tan
8√
θm 3
=
= 2 √ =
4 8√ 3
cos 4 θm + sin 4 θm
1 + tan 4 θm
Per simmetria, si ricava che Γ è interamente contenuto nel quadrato [−3 3/8 , 3 3/8 ]×[−3 3/8 , 3 3/8 ]. I quattro punti
di contatto di Γ con tale quadrato sono dati da P1 = ( 8√ 3, 3 3/8 ) e da i suoi simmetrici rispetto all’origine e alla
bisettrice, ovvero P2 = (− 8√ 3, −3 3/8 ), P3 = (3 3/8 , 8√ 3), P4 = (−3 3/8 , − 8√ 3).
da
Esercizio 14.3. Si dica per quali valori del parametro reale α la funzione z = z(x, y) definita implicitamente
e z+x2
+ αx + y 2 − z 2 = 1, z(0, 0) = 0
ha un estremale relativo nel punto (0, 0). Per tali valori di α si dica se si tratta di un massimo o di un minimo.
Svolgimento. Poniamo f(x, y, z) = ez+x2 + αx + y2 − z2 − 1. Si ha f(0, 0, 0) = 0 per ogni α. Calcoliamo
le derivate parziali di f:
∂xf(x, y, z) = 2xe z+x2
+ α
∂yf(x, y, z) = 2y
∂zf(x, y, z) = e z+x2
− 2z.
Si ha ∂zf(0, 0, 0) = 1 = 0, pertanto è possibile applicare il Teorema di Dini e concludere che f = 0 definisce
implicitamente una funzione z = z(x, y) in un intorno di (0, 0) con z(0, 0) = 0. Poiché f ∈ C 1 , tale funzione è